Equação trigonométrica

Resolva a equação tg(3x+\frac{\pi }{6})=\frac{-\sqrt{3}}{3}
a) para U=ℝ
b) para U= [0;2∏]

a) Resolvi a letra a da seguinte maneira:
tg(3x+\frac{\pi }{6})=\frac{-\sqrt{3}}{3}
(3x+\frac{\pi}{6})=arctg(\frac{-\sqrt{3}}{3})+k\pi\rightarrow (3x+\frac{\pi}{6})=\frac{-\pi}{6}+k\pi\therefore \\\\x=-\frac{\pi}{9}+\frac{k\pi}{3}(k\in \mathbb{Z})

Na letra b, entretanto, não pude deixar as respostas condensadas, ou seja, deveria aparecer o ''2kpi'' invés de apenas kpi

b)
tg(3x+\frac{\pi }{6})=\frac{-\sqrt3}{3}\rightarrow \\\\i)(3x+\frac{\pi }{6})=2\pi+arctg(-\frac{\sqrt3}{3})+2k\pi\\\\ii)(3x+\frac{\pi }{6})=\pi+arctg(\frac{-\sqrt3}{3})+2k\pi

Entretando, ao substituir valores de k por 1,2 não chego no gabarito. O gabarito considera que tanto na expressão i) quanto na ii) eu deveria ter somado ''kpi'' e não ''2kpi''. Foi isso que não entendi

Nota: na expressão i) eu somei 2pi à solução para encontrar o intervalo que está entre [0;2pi]. Fiz o mesmo processo na expressão ii), entretanto, somando pi.

gabarito da letra b)
\frac{2\pi}{9};\frac{5\pi}{9};\frac{8\pi}{9};\frac{11\pi}{9};\frac{14\pi}{9};\frac{17\pi}{9}

ps: Eu tenho a impressão de que já postei essa questão( ou uma muito parecida) aqui no fórum. Mas como só fui me tocar disso depois que tinha terminado de digitar todo o latex, vou postar ela assim mesmo.

ps2:Sim, eu realmente já postei essa questão aqui no fórum (e que foi amplamente discutida pela giovana e por mim mesmo (????????)  mas não me lembrava bem da solução. Curioso é o fato de que há um ano atrás eu propus uma solução que o marcosprb de hoje ficou inicialmente em dúvida.
aos interessados: https://pir2.forumeiros.com/t156607-equacao-trigonometrica