Algarismo das unidades do número:

por jerfesson14 Qui 26 Set 2019, 13:51

Qual o algarismo das unidades do número 2012^2011^2010 ?

por **fantecele** Qui 26 Set 2019, 21:31

Primeiro perceba que:

$\\2012\equiv2\,\,(mod\,10)$

Portanto:

$\\2012^{2011^{2010}}\equiv2^{2011^{2010}}\,\,(mod\,10)$

Agora veja como se comporta as potências de 2 perante a congruência módulo 10:

$\\2\equiv 2\,\,(mod\,10)\\2^2\equiv 4\,\,(mod\,10)\\2^3\equiv 8\,\,(mod\,10)\\2^4\equiv 6\,\,(mod\,10)\\2^5\equiv 2\,\,(mod\,10)\\2^6\equiv 4\,\,(mod\,10)$

Daí já deu pra perceber que o resto volta a se repetir a partir de 2^5, então temos um padrão para o resto de uma potência de 2 módulo 10, sendo ela:

$\\2^{4k+1}\equiv 2\,\,(mod\,10)\\2^{4k+2}\equiv 4\,\,(mod\,10)\\2^{4k+3}\equiv 8\,\,(mod\,10)\\2^{4k+4}\equiv 6\,\,(mod\,10)$

Agora basta ver qual é a forma de 2011^2010 quando dividido por quatro:

$\\2011\equiv 3\,\,(mod\,4)\\2011^2\equiv 1\,\,(mod\,4)\\2011^{2010}\equiv 1\,\,(mod\,4)$

Daqui tiramos que 2011^2010 = 4k + 1, dessa forma, pela sequência acima, temos que o número das unidades será o 2.

Acho que é isso, qualquer coisa é só perguntar.

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