Algarismo das unidades de um somatório

por gabriel93 Sex 09 Dez 2011, 19:41

Prove que o algarismo das unidades de $S_n = \sum_{i=0}^{2000}n^{i}$ é sempre $1$ , sendo $n$ um número inteiro.

Eu fiz uma solução analisando os restos por 10, testando um a um: quando n tem resto 0, 1, 2, 3, 4, ..., 9 e assim percebi que em todos os casos o somatório tem resto 1 por 10. Porém, não é tão eficiente, por ser demorado. Pensei em usar congruência na P.G, mas ainda não saiu.

por **Elcioschin** Sex 09 Dez 2011, 19:52

Façamos n = 1, por exemplo

S1 = 1^0 + 1¹ + 1² + 1^3 + ........ + 1^2000

S1 = 1 + 1 + 1 + ............ + 1 (2 000 parcelas)

S1 = 2000 ---> O algarismo das unidades NÃO termina com 1

Tens certeza do enunciado, em particular da expressão matemática ?

por gabriel93 Sex 09 Dez 2011, 19:54

Elcioschin, creio que sejam 2001 parcelas.

por **Elcioschin** Sex 09 Dez 2011, 19:59

Tens razão. Vou pensar mais

por **Adam Zunoeta** Sex 09 Dez 2011, 21:24

Rescrevendo o somatório inicial temos:

Algarismo das unidades de um somatório 76129337

por gabriel93 Sex 09 Dez 2011, 21:39

Adam Zunoeta, também já pensei em "desmembrar" o somatório dessa maneira. Porém tem que provar que o somatório que acompanha o "1" é múltiplo de 10 para qualquer n inteiro.

por **Adam Zunoeta** Sex 09 Dez 2011, 21:41

Você tem razão gabriel93, na verdade eu fiz errado.
Sad

por gabriel93 Sex 09 Dez 2011, 21:55

Mas o somatório que acompanha o "1" tem que ser múltiplo de 10, ou seja, terminado em 0, para que quando somado a 1 resulte em um número terminado em 1.

por **Adam Zunoeta** Sex 09 Dez 2011, 23:19

Acho que isso demonstra que aquele somatório é divisível por 10 para qualquer valor de n.

Aquele somatório pode ser escrito como:

Algarismo das unidades de um somatório 49789665

Algarismo das unidades de um somatório 49789665

Que é divisível por 10.

por gabriel93 Sáb 10 Dez 2011, 07:31

olá, Adam. Creio que você tenha cometido um equívoco. Repare que você fez a soma do primeiro e último termo do somatório, multiplicou pela quantidade de termos (2000) e dividiu por 2. Ou seja, você aplicou a fórmula de um P.A. O somatório em questão não se trata de uma P.G?