Secção no tronco de cone, IME/ITA nível 2

Um tronco de cone de revolução tem raios da base 1 e 4 e altura 3. Dividir seu volume por um plano paralelo às bases, de maneira que a parte adjacente à base maior seja equivalente a oito vezes a outra.

Gabarito:

Spoiler:

Utilizando a fórmula para tronco de cone achei que o volume do tronco inicial é 21π, e o cone que originou este tronco tem altura 4. Mas, utilizando a fórmula para tronco de cone nos dois novos troncos aplicando a relação de oito vezes dada, não consigo chegar em nada, pois as duas alturas são desconhecidas, bem como o raio da base entre eles, apesar de saber que a soma das alturas é 3. Como resolver?

tudo o que se pede é uma relação entre volumes. Pra quê você quer calcular o volume?


mas, se quiser, você pode calcular o raio na posição x (abaixo da base menor) e calcular os três volumes.

Obrigado mestre, não sabia que é possível utilizar semelhança entre dois troncos, achei que só poderia ser entre um tronco e um cone pois dois troncos não "fecham" um triângulo na seção meridional.

Ao contrário. Semelhança vale entre figuras semelhantes. Então pode ser usada entre dois troncos, se forem semelhantes, isso é, originados do mesmo cone.

Já NÃO pode ser aplicada entre cone e tronco porque não são figuras semelhantes; ainda que o tronco tenha sido extraído do cone. Mas, por outro lado, pode-se usar a semelhança entre o cone original e o pequeno que sobrou acima do tronco.