(UNIFOR 2018) Q15 - Porcentagem e desconto

Uma loja resolveu fazer uma promoção de um determinado brinquedo no Dia das Crianças. A promoção era a seguinte: “Compre x brinquedos e ganhe x% de desconto”. A promoção é válida para compras até 60 brinquedos, caso em que é concedido o desconto máximo de 60%. Edno, Erivando, Francisco, Paulo e Ricardo compraram 10, 15, 20, 30 e 45 unidades do brinquedo que estava em promoção, respectivamente.


Qual deles poderia ter comprado mais brinquedos e gasto a mesma quantia, se empregasse melhor seus conhecimentos de Matemática?
 a)Edno. 
 b)Erivando. 
 c)Francisco. 
 d)Paulo. 
 e)Ricardo.
Não tenho o gabarito

Como trata-se sempre de "um determinado brinquedo", é sempre o mesmo único preço para a unidade.

Ricardo comprou 45 brinquedos e pagou o equivalente a 24,75 brinquedos. Se tivesse comprado 55 brinquedos teria pago a mesma quantia.

Mais esperto foi Alfonso que comprou 60 brinquedos e pagou somente o equivalente a 24 brinquedos.
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para lhe ser sincero, não montei qualquer equação. Apenas sapeei o valor gasto com 60 e 45 brinquedos e, na sequência, "chutei" 55 brinquedos e vi que resultou igual.

agora "invoquei" e vou fazer pelo modo ortodoxo.

é "um determinado brinquedo" em oferta, logo é um único preço por brinquedo. Para simplificar considero, sem qualquer perda de generalidade, um preço unitário; desta forma, x brinquedos custam x dinheiros. Assim podemos escrever o gasto em função de x como:

g(x) = x - x.x/100  ----->  g(x) = -(1/100)x² + x  ........... eq. de parábola com concavidade para baixo (assume valor máximo em xV)

xV = -b/(2a) = -1/(-2/100) ----->  xV = 50

uma parábola é simétrica à reta vertical que passa pelo seu vértice e abscissas equidistantes da abscissa do vértice (xV) têm mesma ordenada.
Entao vamos analisar os valores simétricos a xV = 50 brinquedos nas compras feitas:
Edno........... = 10 -----> 90
Erivando..... = 15 -----> 85
Francisco... = 20 -----> 80
Paulo.......... = 30 -----> 70
Ricardo....... = 45 -----> 55

Ora, o desconto máximo é de 60%, logo esta parábola é interrompida em x = 60 e não existe além desse valor. O único que fica dentro desse limite é o Ricardo.


a propósito, para 50 brinquedos comprados gasta-se g = 25 dinheiros, valor do vértice.

Um desenho para mostrar o que o colega Medeiros mostrou:

G(x) = (-1/100).x² + x --> Raízes: x = 0 e x = 100 ---> Vértice V(50, 25)

Para x = 10 ---> g(10) = 9 --> Para x = 90 (simétrico) ---> não serve (> 60)
Para x = 15 ---> g(15) = 12,75 --> Para x = 85 (simétrico) ---> não serve (> 60)
Para x = 20 ---> g(20) = 18 --> Para x = 80 (simétrico) ---> não serve (> 60)
Para x = 30 ---> g(30) = 21 --> Para x = 70 (simétrico) ---> não serve (> 60)
Para x = 40 ---> g(40) = 24 --> Para x = 60 (simétrico) ---> serve (= 60)
Para x = 45 ---> g(45) = 24,75 --> Para x = 55 (simétrico) ---> serve (< 60)

Vocês são incríveis. Compreendi perfeitamente. Obrigado!!

Desculpe voltar mas este exercício é bom para verificar na prática o caso de funções definidas conforme o intervalo.



e se o cliente quiser comprar mais do que 60 brinquedos, não pode? Pode, mas o que exceder fica fora da promoção, ele ganha o desconto só até os 60 brinquedos.

desta vez trabalhando com a generalidade explícita, vamos assumir que:
p = o preço de um brinquedo;
x = quantidade de brinquedos comprados;
g(x) = o gasto com a compra dos x  brinquedos comprados.

compra até 60 brinquedos ----> x ≤ 60

custo de x brinquedos = p.x
desconto = (p.x).x% = (p.x).x/100 = p.x²/100
portanto,
gasto = custo - desconto  ----->  g(x) = p.(x - x²/100) ----->  g(x) = p.(-x²/100 + x) ..........para x ≤ 60

compra de mais de 60 brinquedos ----> x > 60

custo de x brinquedos = p.x
desconto = (p.x).60% .......mas x = 60 (referente ao desconto máx)  ------> desconto = (p.60).60/100 = p.36
portanto
gasto = custo - desconto  ----->  g(x) = p.(x - 36) ..............para x > 60

resumindo
\therefore \;\;\; g(x) = \left\{\begin{matrix}
p.\left( -\frac{x^2}{100} + x \right) & se\; x \le 60 \\
p.\left( x - 36 \right) & se\; x> 60
\end{matrix}\right.

o gráfico dessa situação fica assim