Circunferência inscrita em um triângulo.

por **Emanuel Dias** Seg 24 Jun 2019, 19:08

Em um triângulo ABC, AB=12, AC=8 e BC=16. O círculo inscrito é tangente ao lado AB em J. Se JP e JQ são paralelas a BC e AC, respectivamente, calcule o perímetro do paralelogramo JPCQ.

Circunferência inscrita em um triângulo. Screen35

por Arschwenr Seg 24 Jun 2019, 19:48

Você tem o gabarito?

Enviado pelo Topic'it

por **Emanuel Dias** Seg 24 Jun 2019, 19:56

Arschwenr escreveu:Você tem o gabarito?

Enviado pelo Topic'it

56/3

por **Baltuilhe** Ter 25 Jun 2019, 00:58

Boa noite!

Observando-se a figura:

Circunferência inscrita em um triângulo. Captur15

Chamando-se o segmento BJ de x, o segmento BK também será x, por serem BJ e BK tangentes à circunferência inscrita.
AJ vale 12-x e AL o mesmo, pelo mesmo princípio.
CK mede 16-x e CL também.
Como AC = AL + LC, temos:
8=12-x+16-x\\
8=28-2x\\
2x=28-8\\
2x=20\\
x=10

Agora que temos x podemos fazer semelhanças de triângulos. JQ = a e JP = b. Então:
BJQ é semelhante a BAC, portanto:
\dfrac{BJ}{JQ}=\dfrac{BA}{AC}\\
\dfrac{10}{a}=\dfrac{12}{8}\\
12a=80\\
a=\dfrac{80}{12}=\dfrac{20}{3}

AJP é semelhante a ABC, portanto:
\dfrac{AJ}{JP}=\dfrac{AB}{BC}\\
\dfrac{2}{b}=\dfrac{12}{16}\\
12b=32\\
b=\dfrac{32}{12}=\dfrac{8}{3}

Portanto o perímetro:
2\cdot\left(a+b\right)=2\cdot\left(\dfrac{20}{3}+\dfrac{8}{3}\right)=2\cdot\dfrac{28}{3}=\dfrac{56}{3}

Espero ter ajudado!