Inequação Modular Logaritmica

por aleeh Qui 28 Jul 2011, 13:10

Se não me engano é da fuvest.

$\left | log_{16}(1-x^2)-log_{4}(1+x) \right | <\frac{1}{2}$

por **Elcioschin** Qui 28 Jul 2011, 14:03

Condições a serem atendidas:

1 - x² > 0 ----> - 1 < x < + 1

1 + x > 0 ----> x < - 1

As duas condiçoes são conflitantes. Problema impossível no domínio real

Deve haver erro no enunciado

por **hygorvv** Qui 28 Jul 2011, 15:01

[quote="aleeh"]Se não me engano é da fuvest.

Imagino que seja isso.
|log[16](1-x²)-log[4](1-x)|<1/2
CE
(1-x²)>0 -> x>-1 ou x<1
(1-x)>0 -> x<1
|log[4²](1-x)(1+x)-log[4](1-x)|<1/2
|log[4](1-x)(1+x)/2-log[4](1-x)|<1/2
|log[4](1-x)+log[4](1+x)-2log[4](1-x)|<1
|log[4](1+x)-log[4](1-x)|<1
|log[4](1+x)/(1-x)|<1
Como log[4](1+x)/(1-x) é sempre um número positivo, temos a seguinte inequação:
log[4](1+x)/(1-x)<1
4^1<(1+x)/(1-x)
4-4x<1+x
5x>4
x>4/5

S={x E R | 4/5
Espero que seja isso e que te ajude.

por aleeh Sex 29 Jul 2011, 11:13

Elcioschin escreveu:Condições a serem atendidas:

1 - x² > 0 ----> - 1 < x < + 1

1 + x > 0 ----> x < - 1

As duas condiçoes são conflitantes. Problema impossível no domínio real

Deve haver erro no enunciado

Tem erro ai

1 + x > 0 ---> x > -1 então não tem conflito

por aleeh Sex 29 Jul 2011, 11:22

[quote="hygorvv"]

aleeh escreveu:Se não me engano é da fuvest.

Imagino que seja isso.
|log[16](1-x²)-log[4](1-x)|<1/2
CE
(1-x²)>0 -> x>-1 ou x<1
(1-x)>0 -> x<1
|log[4²](1-x)(1+x)-log[4](1-x)|<1/2
|log[4](1-x)(1+x)/2-log[4](1-x)|<1/2
|log[4](1-x)+log[4](1+x)-2log[4](1-x)|<1
|log[4](1+x)-log[4](1-x)|<1
|log[4](1+x)/(1-x)|<1
Como log[4](1+x)/(1-x) é sempre um número positivo, temos a seguinte inequação:
log[4](1+x)/(1-x)<1
4^1<(1+x)/(1-x)
4-4x<1+x
5x>4
x>4/5

S={x E R | 4/5
Espero que seja isso e que te ajude.

Você copiou o enunciado errado kk ---> |log[16](1-x²) - log[4](1 + x)| < 1/2

por **Elcioschin** Sex 29 Jul 2011, 11:47

Temos então duas possibilidades:

I) log16(1 - x²) - log4(1 + x) > - 1/2 ---> Mudando de base 16 para base 4:

log4(1 - x²)/log4(16) - log4(1 + x) > - 1/2 ---->

log4(1 - x²)/2 - log4(1 + x) > - 1/2 ---->

log4(1 - x²) - 2*log4(1 + x) > - 1 ---->

log4(1 - x²) - log4(1 + x)² > log4(1/4) ---->

log4(1 - x²)/(1 + x)² > log4(1/4) ---->

(1 - x²)/(1 + x)² > 1/4 ----> (1 - x)*(1 + x)/(1 + x)*(1 + x) > 1/4 ----> (1 - x)/(1 + x) - 1/4 > 0

[4*(1 - x) - (1 + x)]4*(1 + x) > 0 ----> (3 - 5x)/(1 + x) > 0

Faça agora a tabela verdade com raízes x = - 1 e x = 3/5 e calcule domínio de x

II) log16(1 - x²) - log4(1 + x) < + 1/2

Faça de modo similar ao de cima e calcule o domínio de x

Compare os dois domínios