Geometria Plana - Triângulos

Quantos são os triângulos de perímetro igual a 43 e cujas medidas dos lados são expressas por números inteiros?

Ainda não consegui terminar, mas vou deixar algumas considerações já que ninguém explicitou nada até aqui. Quem quiser finalizar o problema, por mim, sem problemas.

Sejam x, y e z os lados do triângulo. Assim, x+y+z=43.

Da desigualdade triangular, sabemos que: x < y+z e, consequentemente, x+y+z < y+z+y+z.

Logo: 2(y+z) > 43, portanto, y+z > 43/2. Como y, z ∈ ℤ, y+z ≥ 22.

Daí, vem: x+y+z ≥ 22+x → 43 ≥ 22+x → x ≤ 21.

Novamente, da desigualdade triangular, sabemos, que y < x+z e, consequentemente, x+y+z < 2(x+z), o que equivale a dizer que x+z > 43/2 e, portanto, x+z ≥ 22, e assim y ≤ 21. De forma análoga, z ≤ 21.

Caso estivéssemos trabalhando no conjunto dos números reais, o triângulo equilátero ocorreria para x=y=z=43/3. Partindo-se dessa ideia, achamos o intervalo de variação de x (43/3 < x ≤ 21, ou então, 15 ≤ x ≤ 21) para o qual é possível encontrar todos os triângulos cujo perímetro é 43 e os lados pertencem ao conjunto dos inteiros.

Nota: como 43 não é divisível por 3, concluímos que não existe triângulo equilátero, de lados inteiros, cujo perímetro equivale a 43.

Adicionei ao primeiro post mais uma informação (último trecho) que, ao meu ver, finaliza o problema.

Possíveis triângulos sendo x=21 um dos lados: {(21,21,1), (21,20,2), ..., (21,12,10), (21,11,11)}

Pelo padrão, o próximo triângulo seria o (21,10,12), mas note que esse triângulo é congruente ao triângulo (21,12,10), então, desconsideramos o triângulo (21,10,12) e partimos para a próxima sequência que se inicia em (20,20,3) e assim vai. Deixo para você finalizar.

Nota: infelizmente eu não conheço nenhuma forma de descobrir o número de triângulo de uma forma mais rápida que essa. Talvez uma análise combinatória ajude (não tenho total certeza de que é possível), mas eu não confio no meu conhecimento sobre análise combinatória. Deixo para alguém que sabe mais que eu. Me perdoe .