Geometria plana-Triângulos

por igorgbi Dom 19 Nov 2017, 00:37

Considere um triângulo ABC, isósceles, cuja base BC mede 6u.c. E o ângulo A mede 120°. Se M é o ponto médio de AC, e N é um ponto de BC, tal que BN=1/3BC, sendo o comprimento de MN, em u.c., igual a k, então o valor de k^2 é
A)7
B)19-4√3
C)14
D)19+4√3
E)28

Ainda não saiu o gabarito da prova.

por **Elcioschin** Dom 19 Nov 2017, 00:59

Seja P o ponto médio de BC ---> Trace AP ---> BP = CP = 3

No triângulo retângulo APB ---> BÂP = 60º ---> A^BC = 30º

senBÂP = CP/AB ---> sen60º = 3/AB ---> AB = 2.√3 ---> AM = CM = √3

BN = (1/3).BC ---> BN = (1/3).6 ---> BN = 2 ---> BC = 4

Lei dos cossenos no triângulo CMN ---> MN² = CN² + CM² - 2.CN.CM.cos30º --->

k² = 4² + (√3)² - 2.4.√3.(√3/2) ---> k² = 7