Elementos da Matriz
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Elementos da Matriz
por Topic'it Dom 27 Jan 2019, 11:21
Calcule todas as matrizes X, quadradas de ordem 2, tais que X²=I (de ordem 2).
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Topic'it- Padawan
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Re: Elementos da Matriz
por Leonardo Mariano Dom 27 Jan 2019, 12:55
Façamos a matriz X = (a b)
(c d)
Temos então que: (a b) * (a b) = (1 0)
(c d) (c d) (0 1)
A multiplicação gera o sistema:
(I) a² + bc = 1
(II) ab + bd = 0 --> b(a + d) = 0
(III) ca + cd = 0 --> c(a + d) = 0
(IV) d² + bc = 1
Para: c = 0
(I) --> a² + 0*b = 1 --> a = ± 1
(IV) --> d² + 0*b = 1 --> d = ± 1
Para c ≠ 0:
(I) --> a² + bc = 1 --> a = ± √(1 - cb)
(IV) --> d² + bc = 1 --> d = ± √(1 - cb)
Como c é diferente de 0, a + d = 0 deve ocorrer, então temos:
a = + √(1 - cb) e d = - √(1 - cb)
ou
a = - √(1 - cb) e d = + √(1 - cb)
Juntando todos os resultados:
X = (± 1 b) ou (+ √(1 - cb) b ) ou (- √(1 - cb) b )
(c ± 1) (c - √(1 - cb)) (c + √(1 - cb))
Como (1 - cb) está dentro de uma raiz quadrada:
1 - cb ≥ 0 --> cb ≤ 1, com b, c ∈ ℝ
No meu entendimento seria isso, peço desculpas caso algo esteja errado.
(c d)
Temos então que: (a b) * (a b) = (1 0)
(c d) (c d) (0 1)
A multiplicação gera o sistema:
(I) a² + bc = 1
(II) ab + bd = 0 --> b(a + d) = 0
(III) ca + cd = 0 --> c(a + d) = 0
(IV) d² + bc = 1
Para: c = 0
(I) --> a² + 0*b = 1 --> a = ± 1
(IV) --> d² + 0*b = 1 --> d = ± 1
Para c ≠ 0:
(I) --> a² + bc = 1 --> a = ± √(1 - cb)
(IV) --> d² + bc = 1 --> d = ± √(1 - cb)
Como c é diferente de 0, a + d = 0 deve ocorrer, então temos:
a = + √(1 - cb) e d = - √(1 - cb)
ou
a = - √(1 - cb) e d = + √(1 - cb)
Juntando todos os resultados:
X = (± 1 b) ou (+ √(1 - cb) b ) ou (- √(1 - cb) b )
(c ± 1) (c - √(1 - cb)) (c + √(1 - cb))
Como (1 - cb) está dentro de uma raiz quadrada:
1 - cb ≥ 0 --> cb ≤ 1, com b, c ∈ ℝ
No meu entendimento seria isso, peço desculpas caso algo esteja errado.
Leonardo Mariano- Monitor
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Re: Elementos da Matriz
por Topic'it Seg 28 Jan 2019, 09:35
Acho que é isso mesmo Leonardo, obrigado!!
Topic'it- Padawan
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