Soma dos elementos de uma matriz

por UmPoetaEufórico Seg 22 Nov 2021, 10:19

A matriz "A" é definida tal como segue:

A = [a_ij]_mxn , a_ij=2ki+(3kj)²-13j +1 , com i e j inteiros, [latex] 1 \le i \le m[/latex], [latex]1\le j \le n [/latex]

Determine a soma de todos os termos a_ij dessa matriz.

Obs:Não possuo o gabarito.

por **tales amaral** Seg 22 Nov 2021, 13:46

Não seria [latex]1\leq i \leq m[/latex] e [latex]1\leq j \leq n[/latex] nas desigualdades?

por UmPoetaEufórico Seg 22 Nov 2021, 14:03

tales amaral escreveu:Não seria [latex]1\leq i \leq m[/latex] e [latex]1\leq j \leq n[/latex] nas desigualdades?

São esses os intervalos, já corrigi o enunciado.

por **tales amaral** Seg 22 Nov 2021, 16:27

Creio que seja isso ( supondo que k é uma constante). Dá pra desenvolver ainda, mas não sei se vale a pena.

[latex]\begin{align*} S &= \displaystyle\sum_{j =1}^n \displaystyle\sum_{i =1}^m \left[2ki+\left(3kj\right)^2-13j +1 \right ]\\~\\ &=\displaystyle\sum_{j =1}^n \displaystyle\sum_{i =1}^m \left[2ki +\left(9k^2j^2-13j+1\right) \right ]\\~\\ &=\displaystyle\sum_{j =1}^n \left[2k\cdot\dfrac{(1+m)\cdot m}{2} +m\cdot\left(9k^2j^2-13j+1 \right )\right ]\\~\\ &= m\cdot\displaystyle\sum_{j =1}^n \left[k\cdot(1+m)+9k^2j^2-13j+1 \right ]\\~\\ &= m\cdot\displaystyle\sum_{j =1}^n \left[9k^2j^2-13j+\left( 1+km+k \right )\right ]\\~\\ &= m\cdot\left[9k^2\cdot\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} -13\cdot\dfrac{(n+1)\cdot n}{2}+n\cdot\left( 1+km+k \right )\right ]\\~\\ &=m\cdot n\cdot\left[3k^2\cdot\dfrac{(n+1)(2n+1)}{2} -13\cdot\dfrac{(n+1)}{2}+1+km+k \right ] \end{align*}[/latex]

por UmPoetaEufórico Seg 22 Nov 2021, 20:11

Oi Tales,

Eu comecei a desenvolver o problema de forma bem parecida, a única diferença foi que eu coloquei o somatório de indexador j dentro do de indexador i, mas até aqui nenhum problema até porque a soma tem propriedades comutativas. Cheguei a perceber que tinha umas somas de PA, mas achei que não era esse o caminho por causa da soma dos j². Em uma das passagens você assumiu que essa soma é:

[latex]\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/latex]

Essa é uma fórmula a decorar ou existe um modo razoável de deduzi-la?

Desde já agradeço pela ajuda Smile

por **tales amaral** Seg 22 Nov 2021, 20:48

UmPoetaEufórico escreveu:Oi Tales,

Eu comecei a desenvolver o problema de forma bem parecida, a única diferença foi que eu coloquei o somatório de indexador j dentro do de indexador i, mas até aqui nenhum problema até porque a soma tem propriedades comutativas. Cheguei a perceber que tinha umas somas de PA, mas achei que não era esse o caminho por causa da soma dos j². Em uma das passagens você assumiu que essa soma é:

[latex]\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/latex]

Essa é uma fórmula a decorar ou existe um modo razoável de deduzi-la?

Desde já agradeço pela ajuda

Pra decorar eu não sei se existe um macete, mas uma boa demonstração é do mestre xande 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 - YouTube.