Equação de matriz inversa

Oi. 


Estou seguindo matrizes em Noções de Matemática e me deparei com essa questão:



A,B e C são matrizes quadradas de ordem n, invertíveis. Resolva as equações matriciais:

a) A.X.B=c


Segundo o gabarito a resposta é:

X=A^-1CB^-1


Eu quero entender como chego a isso pois, A e B estão multiplicando logo teriam que passar dividindo certo: Ou não reparei em uma regra da matriz inversa?

Obrigado pela atenção.

Bom dia, endis7!

Primeiro, não há divisão de matrizes, logo vc não pode "passar para o outro lado dividindo".

Nesse caso, terá que proceder da seguinte forma:

1) Lembrar que A.A^-1 = I e A.I = A
2) A comutativa na multiplicação de matrizes não é regra. As exceções são os seguintes casos: A.A^-1 = A^-1.A = I e A.I = I.A = A

I é a matriz Identidade.

No exercício AXB = C, temos que encontrar uma matriz identidade ao lado do X.

A^-1.A.X.B = A^-1.C ---> Multipliquei ambos os lados por A à esquerda de cada lado da equação inicial.
I.X.B = A^-1.C
X.B = A^-1.C
X.B.B^-1 = A.C.B^-1 ---> Multipliquei ambos os lados por A à direita de cada lado da equação inicial.
X.I = A^-1.C.B^-1
X = A^-1.C.B^-1

nishio escreveu:Bom dia, endis7!

Primeiro, não há divisão de matrizes, logo vc não pode "passar para o outro lado dividindo".

Nesse caso, terá que proceder da seguinte forma:

1) Lembrar que A.A^-1 = I e A.I = A
2) A comutativa na multiplicação de matrizes não é regra. As exceções são os seguintes casos: A.A^-1 = A^-1.A = I e A.I = I.A = A

I é a matriz Identidade.

No exercício AXB = C, temos que encontrar uma matriz identidade ao lado do X.

A^-1.A.X.B = A^-1.C ---> Multipliquei ambos os lados por A à esquerda de cada lado da equação inicial.
I.X.B = A^-1.C
X.B = A^-1.C
X.B.B^-1 = A.C.B^-1 ---> Multipliquei ambos os lados por A à direita de cada lado da equação inicial.
X.I = A^-1.C.B^-1
X = A^-1.C.B^-1

Muito obrigado