Lugar Geométrico
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Lugar Geométrico
por Giovana Martins Sáb 29 Dez 2018, 21:19
Determine o lugar geométrico do conjunto dos pontos a partir dos quais traça-se tangentes a uma parábola em T1 e T2, tais que as normais em T1 e T2 sejam perpendiculares.
Eu estava treinando algumas questões sobre geometria analítica daí me deparei com esta questão do Caio Guimarães a qual eu não tive muitas ideias para resolver. Sou muito grata a quem resolver
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Eu estava treinando algumas questões sobre geometria analítica daí me deparei com esta questão do Caio Guimarães a qual eu não tive muitas ideias para resolver. Sou muito grata a quem resolver
.- Spoiler:
- O lugar geométrico é a diretriz da parábola.
Última edição por Giovana Martins em Ter 01 Jan 2019, 13:38, editado 1 vez(es)
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Re: Lugar Geométrico
por Elcioschin Seg 31 Dez 2018, 19:45
m = (y1 - y)/(x1 - x) ---> m' = (y2 - y)/(x2 - x)
As retas r, s são perpendiculares ---> m1.m2 = - 1
[(y1 - y)/(x1 - x)].[(y2 - y)/(x2 - x)] = -1
Desenvolvendo, chega-se na equação de uma circunferência
As retas r, s são perpendiculares ---> m1.m2 = - 1
[(y1 - y)/(x1 - x)].[(y2 - y)/(x2 - x)] = -1
Desenvolvendo, chega-se na equação de uma circunferência
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Re: Lugar Geométrico
por Giovana Martins Seg 31 Dez 2018, 19:55
Muito obrigada .
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Re: Lugar Geométrico
por paulinoStarkiller Seg 31 Dez 2018, 21:22
Tem também uma maneira mais simplista e menos generalizada de se fazer: dada uma parábola com raízes na origem do plano cartesiano e pontos pertencentes ao eixo y, tem-se:
f(x) = mx + n
g(x)= (-1/m)x + n -> equações das retas tangentes à parábola.
x² = 4py --> equação da parábola
Achando o ponto de tangência de f(x): x² = 4p(mx + n) --> x² -4pmx - 4px = 0 ---> ∆ = 0 --> 16p²m² + 16px =0 --> m=√-n/p, logo n/p<0 (i)
Achando o ponto de tangência de g(x): x²=4p( (-1/m)x +n --- substituindo i ---> -x² - 4px√-(p/n) + 4pn --> ∆ = 0 ------>
----> p^3 - pn² = 0 ---A solução da equação, já que n/p<0 é--> n = -p, sendo y = - p a reta diretriz da parábola
f(x) = mx + n
g(x)= (-1/m)x + n -> equações das retas tangentes à parábola.
x² = 4py --> equação da parábola
Achando o ponto de tangência de f(x): x² = 4p(mx + n) --> x² -4pmx - 4px = 0 ---> ∆ = 0 --> 16p²m² + 16px =0 --> m=√-n/p, logo n/p<0 (i)
Achando o ponto de tangência de g(x): x²=4p( (-1/m)x +n --- substituindo i ---> -x² - 4px√-(p/n) + 4pn --> ∆ = 0 ------>
----> p^3 - pn² = 0 ---A solução da equação, já que n/p<0 é--> n = -p, sendo y = - p a reta diretriz da parábola
Última edição por paulinoStarkiller em Seg 31 Dez 2018, 21:51, editado 1 vez(es)
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Re: Lugar Geométrico
por Giovana Martins Seg 31 Dez 2018, 21:29
Muito obrigada.
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