Lugar Geometrico

É dada uma circunferência de diâmetro AB=12. Seja CD uma corda perpendicular a AB. Os pontos M e N dividem CD em 3 partes iguais. Determine o LG dos pontos M e N.

Algumas dicas para se pensar


0) Seja a circunferência com centro O(0, 0) e pontos A(-6, 0) e B(6, 0)

1) Seja L o comprimento de cada corda

2) Se a corda passa por A ou por B ----> L = 0 ----> M(-6, 0) , N(-6, 0) e M(6, 0) , N(6, 0)

3) Se a corda é o lado do hexágono ----> L = 6 ----> M(-3\/3, 1) , N(-3\/3, -1) e M(3\/3, 1) , (3\/3, -1)

4) Se a corda é o lado de um quadrado ----> L = 6\/2 ----> (-3\/2, \/2) , N(-3\/2, - \/2) e M(3\/2, \/2), N(3\/2, - \/2)

5) Se a corda é o lado de um triângulo equilátero ---> L = 6\/3 ---> M(-3, \/3), N(-3, -\/3 e M(3, \/3), N(3, -\/3)

Plotem os pontos obtidos. O que acham?

Pensei o seguinte:

E se criarmos uma função a partir da equação da circunferência?

Criamos uma função para a parte superior da circunferência e outra para a parte inferior. A primeira define o ponto M, e a segunda define o ponto N.

Colocando a circunferência na origem, temos como equação:
x² + y² = 36
y = √(36 - x²)

A ordenada do ponto M é metada do valor da função(y/2)

y = 2√(36 - x²)

Fazemos de modo análogo para o N, apenas colocando um sinal negativo na frente da raiz (y = -2√(36 - x²))

seria uma elipse entao...certo mestre elcio?
e leonardo, nao entendi muito bem o seu raciocinio, poderia me explicar?

Do jeito que fiz, MN divide a corda em 3 partes, mas não iguais(a parte do meio é o dobro das outras duas). Mandei para o geogebra, e deu uma curva exterior à circunferência :/

Deve dar para fazer do modo como fiz, mas acho que vai dar um trabalho

Leonardo

As ordenadas dos pontos M valem y/3 e dos pontos N valem - y/3, já que MN = 2y/3

dlemos

Os valores das ordenadas ± 0, 1, \/2, \/3, 2, \/3, \/2, 1, 0
Parece ser uma elipse ou duas senóides opostas.

eu estava tentando fazer algo parecido aqui, mas encontrei duas parabolas, uma em cima e outra embaixo...ai resolvi postar, porque achei muito estranho pra estar certo!kkk
e acredito que seja uma elipse mesmo mestre, pois um estudante do ensino medio não tem como identificar senoides, pelo menos ao meu ver!

y = sqrt(36 - x²)/3

Essa é a função que define a figura procurada para M

y = sqrt(36 - x²)

Essa é a função da parte superior da circunferência.


y = sqrt(36 - x²)/3
9y² = 36 - x²
9y² + x² = 36
y²/4 + x²/36 = 1


essa equação define os pontos M e N

Então é mesmo uma elipse de eixos a = 6 e b = 2