Lugar Geométrico

por Chronoss Dom 19 Jan 2014, 07:25

Um triângulo ABC é tal que : A(0;0) , B(1;0) e C "desloca-se" no plano de modo que o perímetro do triângulo seja , sempre , igual a 4. Nessas condições , pede-se determinar :

a) A equação do lugar geométrico "descrito" pelo ponto C . Que figura representa essa equação ?

b) A equação do lugar geométrico "descrito" pelo baricentro do triângulo ABC quando C percorre o lugar obtido no item a). Que figura representa essa nova equação ?

Gabarito:

por **Elcioschin** Dom 19 Jan 2014, 14:38

Para um ponto qualquer C(x, y):

AB = 1
BC² = (x - xB)² + (y - yB)² ---> BC² = (x - 1)² + (y - 0)² ---> BC² = x² + y² - 2x + 1 ---> BC = √(x² + y² - 2x + 1)
AC² = (x - xA)² + (y - yA)² ---> AC² = (x - 0)² + (y - 0)² ---> AC² = x² + y² ---> AC = √(x² + y²)

Perímetro ---> AB + BC + AC = 4 ---> 1 + √(x² + y² - 2x + 1) + √(x² + y²) = 4 ---> √(x² + y² - 2x + 1) = 3 - √(x² + y²)

Elevando ao quadrado ---> x² + y² - 2x + 1 = 9 + (x² + y²) - 6.√(x² + y²) ---> 2x + 8 = 6.√(x² + y²) ---> x + 4 = 3.√(x² + y²)

Elevando ao quadrado ---> (x + 4)² = 9.(x² + y²) ----> x² + 8x + 16 = 9x² + 9y² ----> 8x² + 9y² - 8x = 16

Curva ---> 8x² - 8x + 2 - 2 + 9y² = 16 ----> 8.(x - 1/2)² + 9.(y - 0)² = 18 ---> (x - 1/2)²/(3/2)² + (y - 0)²/(√2)² = 1 --->

Elipse com centro (1/2, 0) semi-eixos á = 3/2 e b = √2

Tente fazer o outro item, do baricentro

por Chronoss Seg 20 Jan 2014, 07:08

Não seria b = √2 ? E outra, o gabarito está considerando os pontos da elipse que estão alinhados com A e B , acho que está incompleto , pois A,B e C alinhados não constitui um triângulo; correto?

por Chronoss Seg 20 Jan 2014, 17:53

por **Elcioschin** Seg 20 Jan 2014, 18:07

1) Equação da elipse com centro O (xO, yO) e eixos a, b:

(x - xO)²/a² + (y - yO)²/b² ---> Comparando com a equação obtida:

(x - 1/2)²/(3/2)² + (y - 0)²/(3.√2)2 ---> a = 3/2, b = √2

Logo, b = √2 ---> Você está certo

Quando os pontos estão alinhados certamente não existe um triângulo.
Porém, aplicando o conceito de limite, existe o triângulo: quando o ponto C está um "pouquinho" acima ou abaixo do eixo x, o triângulo existe; assim, quando o pouquinho se torna zero, considera´se que este ponto C do eixo x também faz parte da elipse

por Chronoss Seg 20 Jan 2014, 18:56

Talvez eu não esteja entendendo bem oque disse, mas resumindo o meu raciocínio foi o seguinte:

- Elipse de Centro C( 1/2 ; 0 ) , "horizontal" com eixo real ou "maior" : 2a = 3 ; que é devido a termos um triângulo de perímetro 4 , e AB = 1 , donde a soma das distancias de C aos pontos A e B (focos) é sempre igual a 2a = 3 , justamente a definição de elipse , correto?

- A distancia do centro aos focos é : c = (1/2)

- Desse modo pela relação : a² = b² + c² , obtemos b = √2

Plotando a equação no wolfran obtive :

wolfran:

Entretanto acho que seria :

Spoiler:

Ou não?

Ps: Tive que editar , postei o segundo link errado .

por **Euclides** Seg 20 Jan 2014, 19:06

por **Elcioschin** Seg 20 Jan 2014, 19:40

Chronoss

Você está certo ---> b = √2

Eu tinha esquecido nos meus cálculos, de digitar o 9 antes do y² ----> 9y²
Já editei minha mensagem (em vermelho) corrigindo esta falha.

por Chronoss Seg 20 Jan 2014, 19:41

Segundo meu livro , eixo "horizontal" significa : eixo paralelo ou sobre o eixo Ox , como ambos os focos estão sobre Ox , o eixo está sobre Ox.