Fatoração

por matheussouzacan18 Sáb 29 Dez 2018, 17:11

Boa tarde,como eu poderia fatorar essa expressão: 1-x¹⁰²⁴.

Quais são as etapas que preciso passar para chegar nessa resposta:(1-x)(1+x+x²+x³+...+x¹⁰²³).

Obrigado!

por **Elcioschin** Sáb 29 Dez 2018, 20:07

1 - x¹⁰²⁴= 0 ---> x = 1 é uma raiz ---> - x + 1 é um fator.

Dividindo pelo método da chave:

- x¹⁰²⁴+ 0.x¹⁰²³+ 0.x¹⁰²²+ 0.x¹⁰²¹+ ........ + 1|-x + 1
+ x^{1024 -} 1.x¹⁰²³ ..............................................|x¹⁰²³+ x¹⁰²²+ x¹⁰²¹+ ...... + x² + x + 1
------------------------------
.............-- x^{1023 .}+ 0.x¹⁰²²
.............+x^{1023 ..}- ...x¹⁰²²
^{---------------------------------------------------}
^{................................ -}x¹⁰²²+ 0.x¹⁰²¹ etc

Poderia também usar o Algoritmo de Briott-Ruffini para a raiz x = 1

por nishio Sáb 29 Dez 2018, 20:19

Boa noite!

Tem uma regrinha que diz o seguinte(uma maneira de demonstrar é utilizando a soma de uma PG finita):
1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^{n-1} = \frac{x^n-1}{x-1}

No segundo membro da igualdade, se colocarmos o -1 em evidência tanto no numerador, quanto no denominador, temos:
1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^{n-1} = \frac{(-1)(1-x^n)}{(-1)(1-x)}
\\1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^{n-1} = \frac{(1-x^n)}{(1-x)}
Então, substituindo n por 1024, temos:
\\1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^{1024-1} = \frac{(1-x^{1024})}{(1-x)}
\\1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^{1023} = \frac{(1-x^{1024})}{(1-x)}

Sabendo disto, podemos escrever o seguinte:
1-x^{1024}=1-x^{1024}.\frac{(1-x)}{(1-x)}
\\ 1-x^{1024}=\frac{1-x^{1024}}{1-x}.(1-x)
\\ 1-x^{1024}=1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^{1023}.(1-x)

Resolvi postar a minha resolução mesmo vendo a do mestre Elcioschin pois já tinha formatado.

por **Mateus Meireles** Sáb 29 Dez 2018, 21:00

Matheus, como os colegas já mostraram, expressões da forma a^n - b^n , com n > 1, podem
ser fatoradas em a^n -b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + ... + b^{n-1}). Deixarei uma prova aqui.

É suficiente ver que

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ \begin{align*}

& (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + ... + b^{n-1}) \, = \\
= \, \, \, & a(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + ... + b^{n-1}) \\
& -b(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + ... + b^{n-1}) = \\
= \, \, \, & (a^{n} + a^{n-1}b + a^{n-2}b^2 + ... + a^2b^{n-2}+ ab^{n-1}) \\
& -(a^{n-1}b + a^{n-2}b^2 + a^{n-3}b^3 + ... + ab^{n-1} + b^n) = \\
= \, \, \, & a^n - b^n

\end{align*}

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