Fatoração II

Fatore: a⁴ + 6a³ + 10a² + 6a + 9

Resposta: (a + 3)² (a² + 1)

Alguém poderia me explicar esta fatoração?

Desde já, eu agradeço.

1-usando o teorema das raízes racionais, você vai encontrar possíveis raízes para o polinômio
2-ao testar as possíveis raízes, verá que -3 é raiz, então aplique o método de briot ruffini usando -3 e encontrará um polinômio P(x).
3-aplique o teorema das raízes racionais para encontrar possíveis raízes para p(x).
4-ao testar as possíveis raízes, verá que -3 também é raiz de p(x).
5-Aplique briot rufinni com p(x) e -3 e encontrará um polinômio a(x)
6-a(x) é do segundo grau, ao encontrar o delta de a(x) verá que é negativo, logo não tem raízes reais, assim você não pode fatorar usando números reais
7-aplique o teorema fundamental da algebra

se não tiver o conhecimento aqui citado e quiser o passo a passo, é só pedir. Se não conhecer,de uma lida nos assuntos aqui citado

a^4 + 6a^3 + 9a^2 + (a^2 + 6a + 9) => a^4 + 6a^3 + 9a^2 + (a + 3)^2
=> (a^2 + 3a)^2 + (a+3)^2 => [(a^3 + 3a^2)(a + 3)] + (a+3)^2 => (a+3)(a^3 + 3a^2 + a + 3)=>(a+3)[(a+3)(a^2 +1)] => (a+3)^2(a^2+1)

Leandro, se não for incomodo, gostaria que passasse o passo a passo.

ok, vamos lá!

Primeiro leia os links para auxiliá-lo:

http://www.profmarcovargas.com.br/2013/01/teorema-das-raizes-racionais.html

http://www.brasilescola.com/matematica/divisao-polinomios-utilizando-dispositivo-briotruffini.htm

usando o teorema das raízes racionais, descobre-se que -3 é raiz. Daí dividimos o polinômio (o que você quer fatorar) por ( a - r ) onde r é uma raiz ou seja, dividiremos por ( a + 3 ) usando o método de briot ruffini. Daí obtém-se um novo polinômio p ( x ) = a³ + 3a² + a + 3

usando novamente o teorema das raízes racionais em p ( x ), descobre-se que -3 é raiz de p ( x ) também. Aplicando briot ruffini em p ( x ) tem um novo polinômio c ( x ) = a² + 1

ao encontrar o delta de c ( x ) verá que é negativo, logo não tem raízes reais (só complexas), então não vamos fatorar ele.

podemos escrever um polinômio em função de suas raízes da seguinte forma:
b ( x - r1 ) ( x - r2)...
onde b é o coeficiente que acompanha o x de maior expoente, e r1,r2,r3... são as raízes do polinômio, então tem-se:

1( a+3 ) ( a+3 ) ( a²+1 )= (a + 3 )² (a² + 1)

observe que apesar de a² + 1 não ter raízes reais, ele pode ser escrito, pois ele é o produto de duas raízes complexas.

Caso não entenda, pode perguntar. É bom dar uma estudada nessa teoria, se quiser estudar por um livro, estude o iezzi nos capítulos que falam de polinômios

Bons estudos!

Outro caminho, a partir de p(x) = a³ + 3a² + a + 3

p(x) = (a³ + 3a²) + (a + 3)

p(x) = (a + 3).a² + (a + 3).1 ----> colocando (a + 3) em evidência:

p(x) = (a + 3).(a² + 1)

Como já tínhamos uma raiz a = 3 a fatoração final é (a + 3)².(a² + 1)

Obrigado Leandro e Elcioschin.