Calculo 3, dúvida com área da elipse.

por Emanuel0 Qua 31 Out 2018, 20:28

Olá pessoal, estou com problemas ao tentar encontrar a área de uma elipse que não se encontra na sua forma reduzida (x²/a² + y²/b² = 1).
Creio que sua resposta é encontrada com método de Green.

Considere a elipse 2x²/a² +3y²/b² = 1. Assinale a alternativa correta:
(a) A area da elipse é π²ab.
(b) A area da elipse é abπ√6.
(c) A area da elipse é ab π²/2
(d) A area da elipse é abπ/2

por **Elcioschin** Qua 31 Out 2018, 21:18

BNasta colocar na forma reduzida:

2.x²/a² + 3.y²/b² = 1

x²/(a/√2)² + y²/(b/√3)² = 1

Eixos: a/√2 e b/√3

S = pi.(a/√2).(b/√3) ---> S = a.b.pi/√6 ---> S = a.b.pi.√6/6

A alternativa mais próxima é (b), mas faltou /

por Emanuel0 Qui 01 Nov 2018, 00:41

Muito obrigado!

por **Giovana Martins** Qui 01 Nov 2018, 20:24

Um outro jeito um pouco mais complicado utilizando a ideia da integração por substituição trigonométrica.

\\\frac{a}{\sqrt{2}}=u\ \therefore \ y=\frac{b}{\sqrt{3}} \sqrt{1-\frac{x^2}{u^2}}=\frac{b}{u\sqrt{3}}\sqrt{u^2-x^2}\\\\x=usen(\varphi )\ \therefore \ dx=ucos(\varphi )d\varphi \\\\x=0\to \varphi =0\ \wedge\ x=u\to \varphi =\frac{\pi }{2}\\\\\sqrt{u^2-x^2}=\sqrt{u^2-u^2sen^2(\varphi )}=\sqrt{u^2cos^2(\varphi )}=u|cos(\varphi )|\\\\\varphi \in \left [ 0,\frac{\pi }{2} \right ]\ \therefore \ |cos(\varphi )|=cos(\varphi )\ \therefore \ \sqrt{u^2-x^2}=ucos(\varphi )\\\\A=\frac{4b}{u\sqrt{3}}\int_{0}^{u}\left (\sqrt{u^2-x^2} \right )dx=\frac{8b}{a\sqrt{6}}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left ( \frac{a}{\sqrt{2}} \right )^2cos^2(\varphi )d\varphi \\\\\to A=\frac{4ab}{\sqrt{6}}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos^2(\varphi )d\varphi \to A=\frac{4\pi ab}{4\sqrt{6}}\to \boxed {A=\frac{\pi ab}{\sqrt{6}}}

Nota: uma das formas de se demonstrar formalmente a área de uma elipse é utilizando a integração por substituição trigonométrica. Confira os cálculos e se houver dúvidas é só falar!

por **Giovana Martins** Qui 01 Nov 2018, 20:45

Pelo Teorema de Green isso ficaria assim:

\\\frac{x^2}{\left ( \frac{a}{\sqrt{2}} \right )^2}+\frac{y^2}{\left ( \frac{b}{\sqrt{3}} \right )^2}=1\\\\x=\frac{a}{\sqrt{2}}cos(t)\ \wedge\ y=\frac{b}{\sqrt{3}}sen(t),\ com\ 0\leq t\leq 2\pi \\\\\therefore \ dx=-\frac{a}{\sqrt{2}}sen(t)dt\ \wedge\ dy=\frac{b}{\sqrt{3}}cos(t)dt\\\\A=\frac{1}{2}\oint xdy-ydx\to A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi }\left [ \frac{ab}{\sqrt{6}}cos^2(t)+\frac{ab}{\sqrt{6}}sen^2(t) \right ]dt\\\\\to A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi }\frac{ab}{\sqrt{6}}dt\to A=\frac{1}{2}\frac{ab}{\sqrt{6}}2\pi \to \boxed {A=\frac{\pi ab}{\sqrt{6}}}

Nota: na segunda linha da resolução eu fiz uma parametrização.