Soma dos quadrados dos lados de um triângulo
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Soma dos quadrados dos lados de um triângulo
por Andre Ampère Qua 19 Set 2018, 09:59
Entre os triângulos OAB com o vértice O na origem e os outros dois vértices A e B, respectivamente, nas retas y=1 e y=3 e alinhados com o ponto P(7,0) determinar aquele para o qual é mínima a soma dos quadrados dos lados.
- Resposta:
- A(5,1) e B(1,3)
Andre Ampère- Recebeu o sabre de luz
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Re: Soma dos quadrados dos lados de um triângulo
por Ashitaka Qua 19 Set 2018, 15:10
O(0, 0), A(a, 1), B(b, 3)
OA = (a, 1)
OB = (b, 3)
AB = (b - a, 2)
S² = (a² + 1²) + (b² + 3²) + ((b-a)² + 2²)
S² = 2a² + 2b² - 2ab + 14
Sejam também os vetores PA e PB:
PA = (a-7, 1)
PB = (b-7, 3)
Como A, B e P estão alinhados: (a-7)/(b-7) = 1/3
3a - 21 = b - 7
b = 3a - 14
Substituindo na equação:
S² = 2a² + 2(3a - 14)² - 2a(3a - 14) + 14
S² = 14(a² - 10a + 29)
Minimizar S² é só pegar o mínimo da parábola em a, que ocorre pra a = 5 (verifique).
Logo, A(5,1) e B(1,3).
OA = (a, 1)
OB = (b, 3)
AB = (b - a, 2)
S² = (a² + 1²) + (b² + 3²) + ((b-a)² + 2²)
S² = 2a² + 2b² - 2ab + 14
Sejam também os vetores PA e PB:
PA = (a-7, 1)
PB = (b-7, 3)
Como A, B e P estão alinhados: (a-7)/(b-7) = 1/3
3a - 21 = b - 7
b = 3a - 14
Substituindo na equação:
S² = 2a² + 2(3a - 14)² - 2a(3a - 14) + 14
S² = 14(a² - 10a + 29)
Minimizar S² é só pegar o mínimo da parábola em a, que ocorre pra a = 5 (verifique).
Logo, A(5,1) e B(1,3).
Ashitaka- Monitor
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