Elevador puxado pela própria pessoa

Um elevador de massa M está no solo e preso a uma corda que passa por uma polia simples acima dele e, na volta, passa através de um furo no teto. Dentro do elevador, um homem de massa m puxa a corda e o elevador sobe com aceleração a. Sendo g a aceleração da gravidade no local, qual a força que o piso do elevador faz nos pés do homem?

A polia é puxada para baixo com a força:

F = peso do conjunto + força necessária para subir o conjunto com aceleração a
F = (m + M).g + (m + M).a
F = (m + M).(g + a)

A tensão na corda puxada é T.

2T = F
T = (m + M).(g + a) / 2

Visualizando separadamente:

- Puxando a pessoa para cima estão as forças devidas à corda (T) e ao chão (N):

Força resultante = massa . aceleração
T + N = m(g + a)

- Para o elevador temos uma corda o puxando, a normal devida ao peso da pessoa e o seu peso empurrando para baixo:

T - Mg - N = M.a
T - N = M.(g + a)

Temos então duas equações:

T + N = m(g + a)
T - N = M.(g + a)

Somando-as:

2T = (m + M).(g + a)
T = (m + M).(g + a) / 2

A força que o chão faz sobre a pessoa pode ser obtida de alguma das equações acima. Por exemplo:

T + N = m(g + a)
N = m(g + a) - (m + M).(g + a) / 2
N = (m - M).(g + a) / 2

Muito obrigado, PedroX. Esse tinha dado um nó na minha cabeça.

Percebi que o elevador sobe apenas se ele for mais leve que o homem, pois este não consegue fazer uma força maior que seu peso. Porém ambos juntos pesam mais do que o homem sozinho; então como equacionar os dois subindo somente com a força do homem e, ainda, o chão empurrando o homem!

Novamente, obrigado.

Medeiros escreveu:como equacionar os dois subindo somente com a força do homem e, ainda, o chão empurrando o homem!

Desculpe, mas não entendi. Por gentileza poderia reformular?

É um caso curioso:

- Se M > m, o elevador puxa a corda mais fortemente que o peso da pessoa, fazendo a pessoa sair do chão e subir.
- Se M = m, os dois pesos se equilibram e a pessoa fica simplesmente pendurada.
- Se M < m, o peso da pessoa puxa a corda mais fortemente que o peso do elevador, fazendo o elevador subir e levantar a pessoa por meio da força normal.

Sinto muito, não dá para reformular pois esta foi a pergunta na inicial: com que força o chão (do elevador) empurra os pés do homem?

Como o elevador está subindo, forçosamente m>M. Mas o elevador apenas sobe porque a pessoa se pendura na corda, i.e., o puxa jogando seu próprio peso para baixo. No entanto (aqui meu espanto), ao subir, o elevador eleva a pessoa empurrando os seus pés!

Isso para mim parece aquela história do "boots straps" que deu o nome de boot à inicialização do sistema operacional nos computadores.

Mas sua resposta anterior já me deu o equacionamento. Novamente, muito grato.

Ao meu ver, temos duas equações de interesse:

T = (m + M).(g + a) / 2
N = (m - M).(g + a) / 2

Assumamos por simplicidade que a=0, m=3M, g=10. Então:

T = 20.M
N = 10.M

Como a=0, a pessoa não está fazendo nenhuma força sobre a corda além de seu próprio peso.

O elevador está sendo puxado pela polia com uma força de 20.M, está sendo puxado para baixo por uma força de 10.M (peso dele) e empurrado para baixo pela pessoa por uma força de 10.M (normal). Logo, está em equilíbrio.

A pessoa está sendo puxada para cima pela polia por uma força de 20.M, empurrada para cima pela força normal de 10.M, e puxada para baixo pelo próprio peso igual a 30.M. Logo, está em equilíbrio.

As forças para cima totalizam 40.M, isto é, a polia está segurando o peso total de 40.M.

É a polia que faz o sistema ficar em equilíbrio neste caso, pois ela puxa tanto a pessoa como o elevador para cima, contrabalançando o peso deles.

Por outro lado, se a<0 (descendo aceleradamente) ou a>0 (subindo aceleradamente), há uma força adicional no sistema, que é a força muscular da pessoa ao puxar a corda.

Isso a princípio pode fazer não parecer sentido, afinal uma pessoa mais pesada também estaria em equilíbrio, e isso poderia ser associado a uma pessoa mais leve que exerce uma força adicional (muscular) tendo o mesmo peso da pessoa mais pesada. Porém, não há contradição: Se o sistema puxa a corda com seu próprio peso, o sistema fica em equilíbrio, pois a polia puxa o sistema para cima com a mesma intensidade.

Ao exercer uma força muscular sobre a corda (além de seu próprio peso), a pessoa faz a polia puxar o sistema com uma força além do peso do sistema, desequilibrando-o e fazendo-o subir de forma acelerada.

Pensando de forma simples então:

- Se o sistema (pessoa + elevador) puxa a polia com seu próprio peso, a polia puxa o sistema com a mesma intensidade e não há aceleração, a velocidade do sistema é constante (como estava parado, continua parado).

- Se o sistema (pessoa + elevador) puxa a polia com seu próprio peso mais uma força (por exemplo, muscular), a polia puxa o sistema com a mesma intensidade (que é maior que o peso do sistema), forçando-o a ser acelerado.

Portanto, a sacada está no fato de que o peso do sistema não vai mudar, mas a força sobre a polia pode mudar.

Equacionando de forma similar, com a=2 m/s²:

T = 24.M (antes era 20.M)
N = 12.M (antes era 10.M)

Portanto:

O elevador está sendo puxado pela polia com uma força de 24.M, está sendo puxado para baixo por uma força de 10.M (peso dele) e empurrado para baixo pela pessoa por uma força de 12.M (normal). Logo, tem uma aceleração igual a 2 m/s² para cima.

A pessoa está sendo puxada para cima pela polia por uma força de 24.M, empurrada para cima pela força normal de 12.M, e puxada para baixo pelo próprio peso igual a 30.M. Logo, tem uma força de 6.M = 2.m puxando-a, o que resulta em 2 m/s² para cima.

As forças para cima totalizam 48.M, isto é, a polia está segurando o peso total de 40.M, mas ainda sobram 8.M = 2.(m+M) para puxar o sistema com uma aceleração de 2 m/s².

Editado:
Para ficar mais clara a nova distribuição de forças:

A pessoa está exercendo uma força de 8.M sobre a corda, que puxa a pessoa com uma intensidade de 4.M (graças à polia). O elevador também está empurrando a pessoa para cima com uma intensidade de 2.M (normal). Logo, a pessoa está subindo devido a uma força resultante de 6.M=2.m.

O elevador está sendo "puxado pela polia" com uma intensidade de 4.M também, porém a pessoa está exercendo uma força para baixo de 2.M sobre o elevador, deixando-o com uma força resultante de 2.M para cima.

Logo, ao exercer uma força sobre a corda (além de seu peso), a pessoa aumenta a normal com o elevador, mas também deixa uma força resultante sobre o sistema.

A polia está exercendo 8.M de força adicional sobre o sistema. Porém, por terem massas diferentes, a aceleração devida aos 4.M da polia seria diferente para cada um deles. Esse é o motivo para existir uma normal maior que no caso sem aceleração. Esses 8.M de força estão acelerando (3.M+M) de massa, resultando em uma aceleração de 2 m/s². Por causa disso, o elevador "passa" 2.M para a pessoa, ficando apenas com 2.M, e a pessoa fica com 6.M.

excelente aula PedroX, muito obrigado!