Sistema

por Andre Ampère Sex 24 Ago 2018, 17:36

Resolva o sistema abaixo:

\left\{\begin{matrix}
x^{y}=y^{x}\\ y=ax

\end{matrix}\right.\\
onde \;a\neq 1\;e\;a>0

por **Giovana Martins** Sáb 25 Ago 2018, 21:45

Um jeito que eu pensei aqui (teste para ver o que é e o que não é solução):

\\x^y=y^x\to x^{(ax)}=(ax)^x\\\\u(x)^{t(x)}=e^{t(x)ln(u(x))}\\\\e^{axln(x)}=e^{xln(ax)}\to axln(x)=xln(ax)\to\\\\axln(x)=xln(a)+xln(x)\to x=0\ \vee\ x=e^{\frac{ln(a)}{a-1}}\\\\\therefore\ y=0\ \vee\ y=ae^{\frac{ln(a)}{a-1}}\ \therefore\ \boxed {(0,0)\ \vee\ \left ( e^{\frac{ln(a)}{a-1}},ae^{\frac{ln(a)}{a-1}} \right )}

Tenho ressalvas quanto a esta resolução. A nível de ensino acadêmico, 0⁰ é tratado como uma indeterminação, daí eu não sei dizer se o par (0,0) é uma solução do sistema, visto que eu não sei como esse tema é tratado a nível de ensino médio. Não me lembro de ter caído em situações que me levassem a potência 0⁰ ao fazer questões de vestibulares.

por Andre Ampère Sáb 25 Ago 2018, 22:34

Giovana Martins escreveu:

Tenho ressalvas quanto a esta resolução. A nível de ensino acadêmico, 0⁰ é tratado como uma indeterminação, daí eu não sei dizer se o par (0,0) é uma solução do sistema, visto que eu não sei como esse tema é tratado a nível de ensino médio. Não me lembro de ter caído em situações que me levassem a potência 0⁰ ao fazer questões de vestibulares.

Mas de fato essa questão engloba ensino superior, pois é a prova do IME de 96, que caia cálculo (Não sei se ainda cai)