Sistema

por **mauk03** Seg 07 Jan 2013, 17:56

Sabendo que x, y e z são reais não nulos e não negativos, resolva o sistema:

$\left\{\begin{matrix} x^{2}-y+2xz+z^{2}=0 & & & & \\ x+y^{2}-y-5\sqrt{y}+z=4 & & & & \\ 2x+y+z=7 & & & & \end{matrix}\right.$

Spoiler:

por **Elcioschin** Seg 07 Jan 2013, 19:18

Pela última equação: x < 7, y < 7, z < 7

Pela 2ª equação y é um quadrado perfeito ----> y = 1 ou y = 4

a) Para y = 1:

x² - 1 + 2xz + z² = 0 ----> x² + 2xz + z² = 1 ----> (x + z)² = 1 ---> Impossível pois x ou z devem ser nulos

b) Para y = 4 ----> x² + 2xz + z² = 4 ----> (x + z)² = 2² ----> x + z = 2 ----> x = 1, y = 1

por **mauk03** Seg 07 Jan 2013, 21:20

Elcioschin boa resolução, porém acabei de conseguir uma forma de resolve-lo sem precisar fazer implicações.

Na primeira equação:
x² + 2xz + z² = y ---> (x + z)² = y ---> x + z = +√y (pois x, y, z > 0)

Substituindo essa relação na segunda equação:
y² - y - 5√y + √y = 4 ---> y² = y + 4√y + 4 ---> y² = (√y+2)² ---> y = +(√y + 2)
---> y - √y - 2 = 0 ---> √y = -1 (não serve) e √y = 2 ---> y = 4

Substuindo y e z (z = √y - x) na terceira equação:
2x + 4 + 2 - x = 7 ---> x = 1 e z = 2 - 1 = 1

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