Sistema x, y, z

Considerando o sistema:

3x + 9y + (k²-1)z = k+1
x + 3y + (1-k²)z = -k-1
3x + 11y +(1-k²)z = -k-1

Para quais valores de k, esse sistema tem:

i- nenhuma solução;
ii - uma única solução;
iii - infinitas soluções;


Resolvi ele por matriz reduzida à forma escada e por determinante. Nas duas soluções encontro: i -> -1; ii -> 1, iii -> k ≠ ±1, mas não sei se está correto.

Mostre o passo-a-passo da sua solução para podermos analisar.

Claro:
Reduzindo a matriz ampliada eu obtive (eu não deixei o 1  no lugar de (k²-1) de forma proposital)

[latex] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & (k^2-1) & (k+1) \end{bmatrix}[/latex]


com isso, eu analisei caso a caso:

i - para nenhuma solução, o posto da matriz ampliada dever ser maior que a dos coeficientes -> k = 1;

ii - para uma única solução, o posto da ampliada precisa ser igual aos dos coeficientes e igual ao número incógnitas, o que vale para qualquer outro k diferente de +1 ou -1;

iii - para soluções infinitas, o posto de ambas precisa ser igual e ser menor que número incógnitas -> k = -1;

O que me deixou confuso é que tem um aviso nesse exercício deixado pela professora que diz: "Cuidado para não dividir por zero". Nesse caso, estaria incorreto colocar os valores que coloquei para k?

A matriz principal tem por determinante ∆ = k² - 1
A matriz de z, por exemplo, tem por determinante ∆z = k + 1

...... ∆z .............. k + 1
z = ----- ---> z = --------
........∆ ................ k² - 1

Note que se k = +1 o denominador vale zero e o numerador vale 2. O valor 2/0 tende para infinito

Mas se k = - 1 teríamos z = 0/0 ---> indeterminado


Se tivermos k ≠ ± 1 teremos uma única solução