divisores positivos

Qual é o menor número natual que possui 20 divisores positivos?

Spoiler:

20 = 5*2*2

5 - 1 = 4 ----> 2^4
2 - 1 = 1 ----> 3^1
2 - 1 = 1 -----> 5^1

(2^4)*(3¹)*(5^1) = 240

elcio, eu só não entendi esta parte:

5 - 1 = 4 ----> 2^4
2 - 1 = 1 ----> 3^1
2 - 1 = 1 -----> 5^1

Porque do 2^4, 3^1 e 5^1?

Ele quer o MENOR número.

Os menores fatores primos são 2, 3, 5
Os expoentes são 4, 1, 1


Para se obter o MENOR número, o MAIOR expoente (4) deverá ser do fator primo 2

Vacaíno escreveu:elcio, eu só não entendi esta parte:

5 - 1 = 4 ----> 2^4
2 - 1 = 1 ----> 3^1
2 - 1 = 1 -----> 5^1

Porque do 2^4, 3^1 e 5^1?

oi achei isso aqui pra você

Qual o menor número natural que possui 2 divisores POSITIVOS?

Lógico que é o número 2, mais como chegar a esse resultado?Então pensando um pouco mais, tive a seguinte idéia :

2--> é decomposto da seguinte maneira 2 . 1 , só que o 1 não irá influenciar(modificar) os calculos, daí ficamos só com o 2 mesmo.

Pegamos o dois(pois , são dois divisores) em seguida subtraí - 1 o resultado será o expoente, fica:

2 - 1 = 1(EXPOENTE)

É sabido que todo numero natural maior do que 1 é decomposto em números PRIMOS, seguindo a seqüencia 2 , 3 , 5 . . .,então, peguei o primeiro número primo que é o 2 e elevei a 1, veja :

N = 2¹ = 2 --> MENOR número natural que possui 2 divisores.



Não fiquei satisfeito fiz outra pergunta: qual o menor número natural que possui 3 divisores positivos, então:

3 = 3. 1 ---> segue o mesmo raciocínio, esquece o 1 e ficamos só com o 3,temos:

3 - 1 = 2(EXPOENTE)

Em seguida pegamos o 2(PRIMO) e elevamos a 2,veja:

N = 2² = 4 --->realmente o 4 é o menor número natural que possui 3 divisores. São eles o 1 , 2 e o próprio 4.




Qual o menor número natural que possui 4 div. + ?

4 = 2 . 2. 1(Mais uma deixa o 1 de lado, ficamos com o 2 e o 2 ).

Subtraíndo 1 de 2 e de 2, temos:

2 - 1 = 1(EXPOENTE)

2 - 1 = 1(EXPOENTE)


Neste caso , temos dois números 1 e o 1, então devemos pegar os dois primeiros números primos que são o 2 e o 3, elevando ambos a 1 e em seguida multiplicá-los,veja:

N = 2¹. 3¹

N = 6 o que mais uma vez confirma os cálculos( 1 , 2 , 3 , 6 )


Qual o menor nº N que possui 5 divisores positivos ?

5 = 5.1

5 - 1 = 4(EXPOENTE)

Pegamos o 2(PRIMO) e elevamos a 4,fica;

N = 2^4

N = 16 ( 1 , 2 , 4 , 8 , 16 )




Qual o menor nº N que possui 6 divisores positivos ?

6 = 3 . 2 . 1

3 - 1 = 2(EXPOENTE)

2 - 1 = 1(EXPOENTE)

Então:

N = 2² . 3¹

N = 4 . 3

N = 12 (1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 )


Pronto! com isso não tive mais nenhuma dúvida, agora é o seguinte: isso só vale para questão desse tipo, pois devemos sempre segui a seqüência dos números PRIMOS do menor para o maior.


Obs. Alguém deve está perguntando e o número 1, ou melhor, por que sempre subtrai 1, sinceramente eu não sei te explicar matematicamente o porquê deve subtrair sempre usando o 1,porém eu fiz o contrário do raciocínio para se encontrar a quantidade de divisores positivos de um número natural.

Ex:

Quantos divisores positivos tem o número 12 ?

12 = 2 . 2 . 3 = 2² . 3¹

Pegando os expoentes e ADICIONANDO 1 e em seguida multiplicando , temos:


(2 + 1)(1 + 1) = 3 . 2 = 6 divisores positivos, viu só se aqui a gente adiciona 1 , lá DIMINUI 1.



OBSERVAÇÃO FINAL:

Devemos decompor a quantidade de divisores sempre na ordem DECRESCENTE, depois que diminuirmos 1 dos números fatorados o número MAIOR será o expoente do MENOR número PRIMO, assim o segundo maior número será o expoente do segundo número PRIMO MENOR e assim sucessivamente.


créditos ao usuário do yahoo respostas rca-PI