Quantas vezes

Escrevendo os inteiros de 1 a 1993,inclusive, quantas vezes o algarismo 1 é escrito?

Solução: Temos que calcular quantas vezes o algarismo 1 ocupa a posição das unidades, das dezenas, das centenas e dos milhares.

Nas unidades ele aparece em (001 , 0011, 0021 , ... , 0091 , 0101 , ... , 1991). Trata-se de uma progressão aritmética de razão r = 10 e a1 = 1. Logo, 1991 = 1 + 10(n - 1). Então, n = (1991 - 1) /10 + 1 = 200 posições.

Nas dezenas, ele aparece em (0010 , 0011 , 0012, ... , 0019) , (0110 , 0111 , 0112 , ... , 0119) , ... , (1910 , 1911 , 1912 , ... , 1919), para um total de 20×10 = 200 posições.

Nas centenas o 1 aparece em (0100 , 0101 , 0102 , ... , 0199 , 1100 , 1101 , ... , 1199) , para um total de 2×100 = 200 posições.

Nos milhares, ele aparece na seqüência (1000 , 1001 , 1002 , ... , 1993) , para um total de 994 posições. Assim, o algarismo 1 parece 200 + 200 + 200 + 994 = 1594 vezes.


Fonte: Prof. Ezequias (http://www.profezequias.net/inteiros.html)