(EN-2007/2008)

Considere a função f, de variável real x, definida por f(x)=sen⁶x+cos⁶x+m(sen⁴x+cos⁴x), onde m∈ℝ é um valor que torna f constante. A equação da circunferência tangente ao eixo y, cujo centro está no ponto de interseção das retas -2mx+2y-5=0 e -x+4y-3=0 é:

A)x²+y²+2x-2y+1=0
B)x²+y²+2x+2y+1=0
C)x²+y²-2x=0
D)x²+y²+2x=0
E)x²+y²-2x-2y+1=0


Desde já, agradeço!

Acho que é assim que se faz.

Se f torna a função constante temos então que a deriavada de f é igual a zero (derivada de uma constante é igual a zero), deriavando f em relação a x vc irá encontrar o valor de  m, após isso substitua m no sistema e resolva ele, perceba que se a circunferência é tangente ao eixo y então seu raio é igual a cordenada x do seu centro, dai usa a fórmula  ( x - xo) + (y - yo) = r^2, e chegue na resposta.

Se tiver dúvida é só perguntar, estou em aula, então não dá para fazer os cálculos agora hehe.

Obrigado pela ajuda, vou tentar, qualquer coisa pergunto novamente

Obrigado pela atenção!

Perdão pelo incomodo, eu tentei por calculo e não consegui achar algo exato, com certeza deve ser alguma desatenção minha.


Obrigado pela ajuda!

A derivada de , é igual a, e manipulando um pouco:
Lembrando que a² - b² = (a - b)(a + b) e que sen²x + cos²x = 1



Como queremos que a derivada seja 0, e queremos descobrir o valor de m, então só nos interessa o caso em que 6 + 4m = 0, ou seja m = -3/2, dessa forma substituindo em -2mx + 2y - 5 = 0, iremos encontrar que 3x + 2y - 5 = 0, junto com o -x + 4y - 3 = 0 iremos encontrar que x = 1 e y = 1.

Sendo a circunferência tangente ao eixo y, temos que seu raio é igual a 1.

Aplicando esses valores na equação da circunferência:

(x - 1)² + (y - 1)² = 1
x² - 2x + 1 + y² - 2y + 1 = 1
x² + y² - 2x - 2y + 1 = 0

Dando como resposta a letra E.

Qualquer dúvida é só perguntar.

Um outro método sem usar derivadas:

Usando as propriedades de produtos notáveis (a+b)² e (a+b)³ :

(a+b)²:



(a+b)³:





Agora substituindo na função e fazendo as multiplicações temos:



Para que a função independa de x precisamos que -2m-3=0 , para isso temos que m=-3/2


Retas: I) -2(-3/2)x+2y-5=0
3x+2y=5
y=(5-3x)/2

Agora já substuindo y na segunda reta:

II)-x+2(5-3x)-3=0
-x+10-6x=3
-7x=-7
x=1, então y também vale 1

C(1,1), como a questão diz que a circunferência tangencia o eixo y podemos dizer que o raio vale 1 também.

(x-1)²+(y-1)=1²
x²-2x+1+y²-2y+1=1
x²+y²-2x-2y+1=0


Espero ter ajudado!!

Excelente execução, parabéns e muito obrigado. Tinha conseguido  realizar a derivada, porém por alguma desatenção não estava desenvolvendo o produto notável corretamente. Muito obrigado pela paciência, entendi tudo certinho. Abraço.