Binômio de newton

Temos 20 azulejos lado a lado em uma parede que serão pintados com cores na gama do
azul e cores na gama do verde. Temos 3 cores na gama do azul e 4 cores na gama do
verde

i. De quantas formas podemos pintar os azulejos garantindo ter 1 na gama do azul e
19 na gama do verde?
ii. E se forem 2 na gama do azul e 18 na gama do verde?
iii. E se forem 7 na gama do azul e 13 na gama do verde?
iv. E no total, se não colocamos qualquer restrição quanto às quantidades de uma ou
outra gama, quantas são as possíveis maneiras de pintar os azulejos?
a) Resolva todos os itens i, ii e iii do problema apresentado na questão
(explique suas soluções).
b) Resolva o item iv do problema acima (explique sua solução).
Temos 20 azulejos lado a lado em uma parede que serão pintados com cores na gama do
azul e cores na gama do verde. Temos 3 cores na gama do azul e 4 cores na gama do
verde (por exemplo, uma possível configuração para a pintura pode ser encontrada na
ilustração abaixo).
Resolva as seguintes questões:
i. De quantas formas podemos pintar os azulejos garantindo ter 1 na gama do azul e
19 na gama do verde?
ii. E se forem 2 na gama do azul e 18 na gama do verde?
iii. E se forem 7 na gama do azul e 13 na gama do verde?
iv. E no total, se não colocamos qualquer restrição quanto às quantidades de uma ou
outra gama, quantas são as possíveis maneiras de pintar os azulejos?
c) Mostre como este problema pode ser usado para ensino do Binômio de
Newton. Dica: Observe que há duas estratégias para resolver o item iv:
ou podemos dividir o a questão do item iv em vários problemas da forma
dos itens i, ii e iii, e, então, somar todas as respostas obtidas (ou seja
resolver, separando em diversas questões, cada uma das quais fixa a
quantidade de azulejos verdes e a quantidade de azulejos azuis) ;
ou podemos pensar nesse problema de forma independente: temos ao
todo 7 cores (3 azuis e 4 verdes) para pintar os 20 azulejos.
Da forma como o problema é apresentado, é natural que os alunos usem a
primeira estratégia (os três primeiros itens induzem o aluno ao uso da primeira
estratégia). Mas se o item iv fosse apresentado isoladamente, a tendência dos
alunos seria resolvê-lo pela segunda estratégia. É claro que as duas estratégias
devem levar ao mesmo resultado. Comparando estas formas de resolver o mesmo
problema, busque dar significado ao Binômio de Newton. Tente comparar os
resultados que cada uma destas estratégias daria se em vez de ter 3 cores na
gama do azul e 4 na gama do verde, tivéssemos x cores na gama do azul e y na
gama do verde (com x e y genéricos).