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Binomio de Newton V

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Mensagem por L.Lawliet Sáb 31 maio 2014, 17:40

Sendo "n" inteiro positivo, calcule:



A resposta é (-1)^n

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Mensagem por L.Lawliet Sáb 31 maio 2014, 17:42

Eu não sei escrever numeros combinatórios LaTeX, mas a sequencia está escrita em numeros combinatorios:

1/(4^n)[C(4n);(0) - C(4n);(2) + C(n);(4) +...+ C(4n);(4n)

Onde C(s);(i) = [ (s!)/(i!).(s-i)! ]

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Mensagem por MatheusMagnvs Sáb 31 maio 2014, 22:15

Muita preguiça de usar LaTeX. Vou representar assim: C(4n;0), onde 4n é o "número de cima" e 0 é o "número de baixo" do C. Só para não confundir com par ordenado nem com um ponto no plano cartesiano.

Bom, após quase desistir, lembrei de algo que aprendi: quando os sinais se alternam e os índices inferiores tem um crescimento padrão (2,4,6,...,4n), na maioria das vezes a melhor saída é usar os complexos.
Admito que meu conhecimento sobre o universo complexo é bem limitado, não os estudei profundamente nem domino todas as suas propriedades - ainda. Vou tentar arriscar pelo pouco que aprendi ano passado.

O desenvolvimento padrão desse binômio é
(1+i)^4n =
C(4n;0) + C(4n.1;1).i + C(4n.2;2).i² + C(4n.3;3).i³ ... + C(4n.4n;4n).i^4n =
C(4n;0) + C(4n;1).i - C(4n;2) - C(4n;3).i + C(4n;4) + C(4n;5).i - C(4n;6) + ... + C(4n;4n) =
[C(4n;0) - C(4n;2) + C(4n;4) - C(4n;6) + ... + C(4n;4n)] + i [C(4n;1) - C(4n;3) + C(4n;5) - ... - C(4n;4n-1)]

Outra coisa que percebi:
(1+i)^4n = [(1+i)^4]^n = (-4)^n = [(-1)^n]. 4^n

Não soube desenvolver a partir daqui. Se alguém souber continuar, ficarei tão agradecido pela questão quanto o Luiz haha. Smile
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Mensagem por Luck Dom 01 Jun 2014, 18:32

Vc já fez tudo Matheus! Como tu desenvolveu: (1+i)^4n = [(-1)^n].4^n
então:
[(-1)^n].4^n + 0i = [C(4n;0) - C(4n;2) + C(4n;4) - C(4n;6) + ... + C(4n;4n)] + i [C(4n;1) - C(4n;3) + C(4n;5) - ... - C(4n;4n-1)]
A parte real é a soma que nos interessa, igualando parte real com real:

[(-1)^n].4^n = [C(4n;0) - C(4n;2) + C(4n;4) - C(4n;6) + ... + C(4n;4n)]

S = ([(-1)^n].4^n) / (4^n)
S = (-1)^n
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Mensagem por L.Lawliet Dom 01 Jun 2014, 18:35

Valeu Luck e Matheus!!

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Mensagem por MatheusMagnvs Seg 02 Jun 2014, 01:27

Ah, Luck, obrigado! Que besteira a minha, haha. Espero que garantisse pelo menos meio ponto numa discursiva. Razz
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