Binomio de Newton V
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L.Lawliet- Mestre Jedi
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Re: Binomio de Newton V
Eu não sei escrever numeros combinatórios LaTeX, mas a sequencia está escrita em numeros combinatorios:
1/(4^n)[C(4n);(0) - C(4n);(2) + C(n);(4) +...+ C(4n);(4n)
Onde C(s);(i) = [ (s!)/(i!).(s-i)! ]
1/(4^n)[C(4n);(0) - C(4n);(2) + C(n);(4) +...+ C(4n);(4n)
Onde C(s);(i) = [ (s!)/(i!).(s-i)! ]
L.Lawliet- Mestre Jedi
- Mensagens : 797
Data de inscrição : 30/10/2013
Idade : 28
Localização : Brasil
Re: Binomio de Newton V
Muita preguiça de usar LaTeX. Vou representar assim: C(4n;0), onde 4n é o "número de cima" e 0 é o "número de baixo" do C. Só para não confundir com par ordenado nem com um ponto no plano cartesiano.
Bom, após quase desistir, lembrei de algo que aprendi: quando os sinais se alternam e os índices inferiores tem um crescimento padrão (2,4,6,...,4n), na maioria das vezes a melhor saída é usar os complexos.
Admito que meu conhecimento sobre o universo complexo é bem limitado, não os estudei profundamente nem domino todas as suas propriedades - ainda. Vou tentar arriscar pelo pouco que aprendi ano passado.
O desenvolvimento padrão desse binômio é
(1+i)^4n =
C(4n;0) + C(4n.1;1).i + C(4n.2;2).i² + C(4n.3;3).i³ ... + C(4n.4n;4n).i^4n =
C(4n;0) + C(4n;1).i - C(4n;2) - C(4n;3).i + C(4n;4) + C(4n;5).i - C(4n;6) + ... + C(4n;4n) =
[C(4n;0) - C(4n;2) + C(4n;4) - C(4n;6) + ... + C(4n;4n)] + i [C(4n;1) - C(4n;3) + C(4n;5) - ... - C(4n;4n-1)]
Outra coisa que percebi:
(1+i)^4n = [(1+i)^4]^n = (-4)^n = [(-1)^n]. 4^n
Não soube desenvolver a partir daqui. Se alguém souber continuar, ficarei tão agradecido pela questão quanto o Luiz haha.
Bom, após quase desistir, lembrei de algo que aprendi: quando os sinais se alternam e os índices inferiores tem um crescimento padrão (2,4,6,...,4n), na maioria das vezes a melhor saída é usar os complexos.
Admito que meu conhecimento sobre o universo complexo é bem limitado, não os estudei profundamente nem domino todas as suas propriedades - ainda. Vou tentar arriscar pelo pouco que aprendi ano passado.
O desenvolvimento padrão desse binômio é
(1+i)^4n =
C(4n;0) + C(4n.1;1).i + C(4n.2;2).i² + C(4n.3;3).i³ ... + C(4n.4n;4n).i^4n =
C(4n;0) + C(4n;1).i - C(4n;2) - C(4n;3).i + C(4n;4) + C(4n;5).i - C(4n;6) + ... + C(4n;4n) =
[C(4n;0) - C(4n;2) + C(4n;4) - C(4n;6) + ... + C(4n;4n)] + i [C(4n;1) - C(4n;3) + C(4n;5) - ... - C(4n;4n-1)]
Outra coisa que percebi:
(1+i)^4n = [(1+i)^4]^n = (-4)^n = [(-1)^n]. 4^n
Não soube desenvolver a partir daqui. Se alguém souber continuar, ficarei tão agradecido pela questão quanto o Luiz haha.
MatheusMagnvs- Mestre Jedi
- Mensagens : 568
Data de inscrição : 13/11/2013
Idade : 28
Localização : Recife
Re: Binomio de Newton V
Vc já fez tudo Matheus! Como tu desenvolveu: (1+i)^4n = [(-1)^n].4^n
então:
[(-1)^n].4^n + 0i = [C(4n;0) - C(4n;2) + C(4n;4) - C(4n;6) + ... + C(4n;4n)] + i [C(4n;1) - C(4n;3) + C(4n;5) - ... - C(4n;4n-1)]
A parte real é a soma que nos interessa, igualando parte real com real:
[(-1)^n].4^n = [C(4n;0) - C(4n;2) + C(4n;4) - C(4n;6) + ... + C(4n;4n)]
S = ([(-1)^n].4^n) / (4^n)
S = (-1)^n
então:
[(-1)^n].4^n + 0i = [C(4n;0) - C(4n;2) + C(4n;4) - C(4n;6) + ... + C(4n;4n)] + i [C(4n;1) - C(4n;3) + C(4n;5) - ... - C(4n;4n-1)]
A parte real é a soma que nos interessa, igualando parte real com real:
[(-1)^n].4^n = [C(4n;0) - C(4n;2) + C(4n;4) - C(4n;6) + ... + C(4n;4n)]
S = ([(-1)^n].4^n) / (4^n)
S = (-1)^n
Luck- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 5322
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Re: Binomio de Newton V
Valeu Luck e Matheus!!
L.Lawliet- Mestre Jedi
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Data de inscrição : 30/10/2013
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Localização : Brasil
Re: Binomio de Newton V
Ah, Luck, obrigado! Que besteira a minha, haha. Espero que garantisse pelo menos meio ponto numa discursiva.
MatheusMagnvs- Mestre Jedi
- Mensagens : 568
Data de inscrição : 13/11/2013
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Localização : Recife
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