Determine m para que se tenha para ∀ x ∈ ℝ:

por Pinheiragem Ter 20 Fev 2018, 04:09

O exercício resolvido diz:

"Determine m de modo que a função quadrática $f(x)= mx^{2} + (2m-1)x + (m+1)$ seja positiva para todo x real."

O gabarito é:

Codições $\Delta < 0 \ e \ a> 0$

1º $\Delta = -8m+1< 0$

2º $a= m> 0 \Rightarrow m> 0$

Como as condições são simultâneas, concluimos que:

$(f(x) > 0, \forall \ x \in \mathbb{R}) \leftrightarrow m> \frac{1}{2}$

Determine m para que se tenha para ∀ x ∈ ℝ:

a) x² + (2m-1)x + (m²-2) > 0

b) x2 + (2m + 3)x + (m2 + 3) >=0

c) x²-mx+m>0

d) x²+(m+1)x+m>0

e) -x² + (m+2)x - (m+3) >=0

f) (m - 1)x² + 4(m - 1)x + m > 0

g) mx² + (m-2)x + m <=0

h) mx² + (m + 3)x + m >=0

i) (m+1)x² 2(m-1)x +3(m- 1)<0

j) (m²-1)x² + 2(m-1)x + 1>0

Boa noite, glr.

Se não me engano, eu entendi que é para determinar m para que se tenha para qualquer x a inequação positiva ou negativa, dependendo da desigualdade..

Então fui desenvolvendo as alternativas ate chegar na letra $g) mx^{2}+(m-2)+m\leq 0$

Eu tenho quatro duvidas:

1ª Duvida: Eu vinha fazendo com essas condições,como estava explicado em um exercício resolvido:
$a> 0 \ e\ \Delta < 0$

Mas notei que, nessa letra $g) mx^{2}+(m-2)+m\leq 0$ , o iezzi adotou $a\leq 0 \ e\ \Delta \leq 0$ , estou certo ?

Desenvolvendo..

Determine m para que se tenha para ∀ x ∈ ℝ: Codec351

o gagarito é $m\leq -2$

2ª Duvida: $m\leq -2$ , pq o a é $a\leq 0$ e apartir disso o $m\geq \frac{2}{3}$ é descartado?

3ª Duvida: O delta sempre irá depender da desigualdade da inequação e por isso ele poderá ser $< 0$ e, se ela tiver igualada a zero, $\leq 0 \ ou\ \geq$

4ªDuvida: No caso do "a", irá, também, ser definido de acordo com a desigualdade da inequação? Essa, por exemplo, o "a" só é $\leq 0$ pq a inequação também é ?.. $g) mx^{2}+(m-2)+m\leq 0$

por **Elcioschin** Ter 20 Fev 2018, 11:59

Você não seguiu as Regras do fórum: esqueceu de digitar o enunciado completo da questão, incluindo alternativas, e, eventualmente o gabarito. Você digitou apenas o que você entendeu do enunciado.

Por favor, clique em EDIT na sua mensagem original e corrija.

por **Giovana Martins** Ter 20 Fev 2018, 12:02

Por favor, ajuste o enunciado!

O que me causa estranheza é o fato de o enunciado querer que g(x) seja negativa e, ao mesmo tempo, incluir o -2 como resposta. Para m=-2 a função g(x) assumirá o valor g(x)=0 que não é nem positivo e nem negativo... Para mim a resposta deveria ser somente m < -2, intervalo para o qual a função g(x) é estritamente negativa. Pela forma que você digitou você não tem tanta certeza quanto ao enunciado, talvez seja isso o que está causando esta situação...

Quanto as suas dúvidas é o seguinte: tomemos o valor m=-3. Para m=-3 tem-se g(x)=-3x²-5x-3. Esboçando o gráfico de g(x) para m=-3 você terá a seguinte conformação gráfica:

Determine m para que se tenha para ∀ x ∈ ℝ: Oie_tr35

Se adotássemos a > 0 e ∆ < 0 teríamos g(x) > 0, ∀ x ∈ ℝ, o que vai contra o que queremos. Por esse motivo impomos a < 0 e, posteriormente, descartamos o intervalo m > 2/3.

Enfim, se tiver sobrado dúvidas é só falar.

por Pinheiragem Ter 20 Fev 2018, 17:15

Elcioschin escreveu:Você não seguiu as Regras do fórum: esqueceu de digitar o enunciado completo da questão, incluindo alternativas, e, eventualmente o gabarito. Você digitou apenas o que você entendeu do enunciado.

Por favor, clique em EDIT na sua mensagem original e corrija.

Perdão, Sr. Elcioschin. Irei ter cuidado com as regras na próxima vez.

por **Elcioschin** Ter 20 Fev 2018, 17:20

Você postou o enunciado completo, mas agora desrespeitou a Regra IX do fórum: o texto do enunciado não pode ser postado em imagem: ele deve ser, obrigatoriamente digitado (e eu disse, na minha mensagem para você digitar o enunciado!)

Por favor, leia todas as Regras do fórum (no alto desta página) e siga-as nas próximas postagens!

por Pinheiragem Ter 20 Fev 2018, 17:22

Giovana Martins escreveu:
Por favor, ajuste o enunciado!

O que me causa estranheza é o fato de o enunciado querer que g(x) seja negativa e, ao mesmo tempo, incluir o -2 como resposta. Para m=-2 a função g(x) assumirá o valor g(x)=0 que não é nem positivo e nem negativo... Para mim a resposta deveria ser somente m < -2, intervalo para o qual a função g(x) é estritamente negativa. Pela forma que você digitou você não tem tanta certeza quanto ao enunciado, talvez seja isso o que está causando esta situação...

Quanto as suas dúvidas é o seguinte: tomemos o valor m=-3. Para m=-3 tem-se g(x)=-3x²-5x-3. Esboçando o gráfico de g(x) para m=-3 você terá a seguinte conformação gráfica:

Se adotássemos a > 0 e ∆ < 0 teríamos g(x) > 0, ∀ x ∈ ℝ, o que vai contra o que queremos. Por esse motivo impomos a < 0 e, posteriormente, descartamos o intervalo m > 2/3.

Enfim, se tiver sobrado dúvidas é só falar.

Obrigado pela ótima explicação, sanou minhas dúvidas!

por **Giovana Martins** Ter 20 Fev 2018, 17:38

De nada. Pelo enunciado, g(x) tem que ser menor ou igual zero, então a situação m=-2 faz sentido.

por felipeomestre123 Seg 05 Jul 2021, 15:16

g) [latex]mx^{2}+(m-2)x+m\leq 0[/latex]

Bom, ele quer que que a função seja negativa ou igual a zero. Temos, portanto, duas situações:

Determine m para que se tenha para ∀ x ∈ ℝ: Esbozo10

No primeiro desenho temos toda a função negativa, o que pode sim pelo enunciado. Delta menor que 0

No segundo desenho, a função também pode ter valor 0, o que também pode pelo enunciado. Delta igual a zero

Portanto, [latex]\Delta \leq 0[/latex]

Posso estar errado, mas foi assim que interpretei.