Função Sobrejetora

por Kowalski Qua 31 Jan 2018, 15:47

(Mackenzie 1996) Com relação à função sobrejetora de Função Sobrejetora Cf469e7e582047729d59f949b84c5957

em A definida por f(x) = 2 - 2^1-a, sendo a = │ x │ considere as afirmações:
I) f(x) é par.
II) f(x) > x² + 1, ∀x ∈ Função Sobrejetora Cf469e7e582047729d59f949b84c5957

.
III) IR₊ - A = [2, + ∞).
Então podemos afirmar que:

a) apenas I é verdadeira.

b) apenas I e II são verdadeiras.

c) apenas I e III são verdadeiras. << gabarito

d) apenas III é verdadeira.

e) todas são verdadeiras. Minha dúvida é na alternativa III

por **Giovana Martins** Qua 31 Jan 2018, 16:35

ℝ₊={0, 1, 2, 3, 4, ...}

Se f(x) é sobrejetora, CD(f)=Im(f). Mas, CD(f)=A, logo, A=Im(f). Para descobrir a imagem de f(x) precisaremos esboçar o seu gráfico, logo:

|x|=x, se x ≥ 0

|x|=-x, se x < 0

Para x ≥ 0 => f(x)=2-2^1-x

Para x < 0 => f(x)=2-2^1+x

A partir das condições acima já podemos construir o gráfico de f(x).

Da construção, concluímos que Im(f)=A=[0,2[. O colchete é aberto em 2 pelo seguinte motivo:

f(x)=2 => 2=2-2^1-|x| => 2^1-|x|=0

Não há x ∈ ℝ que satisfaz a equação acima.

Logo:

ℝ₊-A=[2,+∞[

Respondendo aos itens I e II:

Uma das propriedades de uma função par é que seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y, que é o que observamos após plotarmos (plotado acima) o gráfico de f(x). Logo, proposição verdadeira.

Nota: o gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.

Para a proposição II, seja g(x)=x²+1. Esta proposição afirma que f(x) > g(x), ∀ x ∈ ℝ. Plotando o gráfico de g(x), verificamos que f(x) nunca será maior que g(x).