Dimensões de um paralelepípedo

por Victor Luz Sáb 13 Jan 2018, 00:18

As dimensões de um paralelepípedo retângulo são proporcionais aos números 3, 6 e 9. Calcule essas dimensões, a área total e o volume do paralelepípedo, sabendo que a diagonal mede 63cm.

Gabarito: 9√14/2 cm, 9√14 cm, 27√14/2 cm; 6273 cm². 567√14cm³

por **Giovana Martins** Sáb 13 Jan 2018, 00:35

d²=(3k)²+(6k)²+(9k)²

Ache o valor de k. Tente terminar. Caso você tenha alguma dúvida é só falar.

por **Baltuilhe** Sáb 13 Jan 2018, 00:56

Boa noite!

Vamos calcular a 'proporção' neste paralelepípedo para a dimensão da diagonal.
\\d^2=3^2+6^2+9^2\\d^2=9+36+81=126\\\boxed{d=3\sqrt{14}}

Como a diagonal mede 63cm teremos:
\\\dfrac{63}{3\sqrt{14}}=\dfrac{21\sqrt{14}}{14}=\dfrac{3\sqrt{14}}{2}

Esta é a razão da proporção para os outros elementos do paralelepípedo. Portanto, calculando as dimensões:
\\\begin{cases}a=\dfrac{3\cdot 3\sqrt{14}}{2}=\boxed{\dfrac{9\sqrt{14}}{2}}\\b=\dfrac{6\cdot 3\sqrt{14}}{2}=\boxed{9\sqrt{14}}\\c=\dfrac{9\cdot 3\sqrt{14}}{2}=\boxed{\dfrac{27\sqrt{14}}{2}}\end{cases}

Área total:
\\A_t=2(ab+ac+bc)\\=2(3.6+3.9+6.9)\cdot\left(\dfrac{3\sqrt{14}}{2}\right)^2\\=2(18+27+54)\left(\dfrac{63}{2}\right)\\\boxed{=6\,237}

Volume:
\\V=abc\\=3.6.9\cdot\left(\dfrac{3\sqrt{14}}{2}\right)^3\\=162\left(\dfrac{27\cdot 14\sqrt{14}}{8}\right)\\\boxed{=\dfrac{15\,309\sqrt{14}}{2}}

Poderia verificar o gabarito, Victor? Obrigado!

Espero ter ajudado!