UNICAMP 2016- Matrizes+complexos+polinômios

por Gui Soares Qua 03 Jan 2018, 14:29

Olá galera, tudo bem? Eu to com uma dúvida conceitual sobre as propriedades de matrizes/determinantes. Como posso definir que uma matriz não é invertível? Segue a questão:

Considere o polinômio cúbico p(x)=x³-3x+a, onde a é um número real.

A) No caso em que p(1)=0, determine os valores de x para os quais a matriz A a seguir não é invertível.

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B)Seja b um número real não nulo e i a unidade imaginária, isto é, i²=-1. Se o número complexo z=2+bi é uma raiz de p(x), determine o valor de |z|.

Fiz uma parte da A:

p(1)=0

1³-3(1)+a=0

1-3+a=0 => a=2

Aí eu já não sei as propriedades para a inversibilidade da matriz =c

Fazendo a B:

p(x)= x³-3x+a

Se z=2+bi é raíz, z'=2-bi também é raíz.

Por girard:

2+bi+2-bi+x3=0

4+x3=0

x3=-4

P(-4)=0 => -64+12+a=0 =>a=52

z.z'.(-4)=-52

|z|²=13

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por **Giovana Martins** Qua 03 Jan 2018, 15:29

Uma matriz não é invertível quando o seu determinante é igual a zero.

por Gui Soares Qua 03 Jan 2018, 15:31

Então seria suficiente calcular o determinante, igualar a equação encontrada a zero e calcular as raízes?

por **Giovana Martins** Qua 03 Jan 2018, 15:37

Sim, desde que ao fazer isso tenha-se a garantia de que p(1)=0. Note que ao calcular o determinante você cairá em uma equação em função do parâmetro "a". Fazendo p(1)=0, você achará o valor de "a" e, posteriormente, você achará um polinômio p(x) que satisfaz a condição p(1)=0. Em seguida, você achará as raízes de p(x) que fazem com que a matriz A não seja invertível.