mod (resolver)

por JEABM Dom 31 Dez 2017, 17:27

Qual o valor de 3⁸²⁸ + 2⁴²⁵ por 5. Por favor, resolver por mod.
Gab: 3

Obs: tentei fazer assim:
3 ≡ b mod 5
5 | 3 - b
5 | 3 - (-2)
5 | 5

3 ≡ -2 mod 5

Elevando 828 aos dois lados temos:
3^828 ≡ (-2)^828 mod 5

3^828 ≡ 2^828 mod 5

3 ≡ -2 mod 5

Elevando 2 aos dois lados temos:
3^2 ≡ (-2)^2 mod 5

Elevando 3 aos dois lados temos:
3^3 ≡ (-2)^3 mod 5

Elevando 4 aos dois lados temos:
3^4 ≡ (-2)^4 mod 5
3^4 ≡ 2^4 mod 5

2^4 ≡ ? mod 5
2^4 ≡ 1 mod 5

Elevando 207 aos dois lados temos:
(2^4)^207 ≡ 1^207 mod 5

2^828 ≡ 1 mod 5

portanto: 3^828 ≡ 1 mod 5

-------------------------------------------------------------------
2⁴²⁵ por 5

2 ≡ c mod 5

5 | 2 - c
5 | 2 - (-3)
5 | 5

2 ≡ -3 mod 5

Elevando 425 aos dois lados
2^425 ≡ (-3)^425 mod 5

Elevando 2 aos dois lados
2^2 ≡ (-3)^2 mod 5
2^2 ≡ 3^2 mod 5

Elevando 3 aos dois lados
2^3 ≡ (-3)^3 mod 5

Elevando 4 aos dois lados
2^4 ≡ (-3)^4 mod 5
2^4 ≡ 3^4 mod 5

3^4 ≡ ? mod 5
3^4 ≡ 1 mod 5

Elevando 106 aos dois lados
(3^4)^106 ≡ 1^106 mod 5
3^424 ≡ 1 mod 5

Multiplica por 3 os dois lados
3^424 . 3 ≡ 1 . 3 mod 5
3^425 ≡ 3 mod 5

portanto: 2^425 ≡ 3 mod 5

só que é (-3)^425 e não 3^425...

por JEABM Dom 31 Dez 2017, 17:57

Posso fazer isso?

Elevando 425 aos dois lados
2^425 ≡ (-3)^425 mod 5
2^425 ≡ (-3)^424 . (-3) mod 5

2^425 ≡ 3^424 . (-3) mod 5

Como achei, 3^424 = 1 mod 5

Ficando,

2^425 ≡ 3^424 . (-3) mod 5

2^425 ≡ 1 . (-3) mod 5

2^425 ≡ -3 mod 5

sei que

2 ≡ -3 mod 5

portanto:

2^425 ≡ -3 mod 5

2^425 ≡ 2 mod 5

está certo isso?

por superaks Dom 31 Dez 2017, 17:58

Conhece o teorema de Fermat ?

Se p é primo e a um inteiro não divisível por p, temos que:

a^(p - 1) Ξ 1 (mod p)

Usando esse fato acima, temos que:

2^4 Ξ 1 (mod 5)

3^4 Ξ 1 (mod 5)

Queremos achar o resto de

3^(828) + 2^(425) por 5

Note que 828 = 4 . 207

E 425 = 4 . 106 + 1

Logo:

[(3^4)]^(207) + [(2^(4)]^(106) . 2 Ξ 1^(207) + 1^(106) . 2 Ξ 1 + 2 Ξ 3 (mod 5)

Se ficou com alguma dúvida avise

por JEABM Dom 31 Dez 2017, 18:00

n conheço o teorema de fermat Sad

... o que fiz acima não pode fazer? grato

por JEABM Dom 31 Dez 2017, 18:04

poderia me passar um lugar bom que explica-se esse teorema de fermat passo a passo com uma linguagem q dá para compreender...grato

por superaks Dom 31 Dez 2017, 18:04

Esse é um dos teoremas mais notáveis em congruência.

Para a inteiro e p primo, temos que.

a^p Ξ a (mod p)

E se p não divide a, você pode usar a lei do corte

a^(p - 1) Ξ 1 (mod p)

É simples e bem forte.

Tente aplica-lo em outra questão.

Ache o resto de:

7^(527) + 9^(323) por 11.

Responda aqui em baixo que eu ajudo