mod (resolver)

por JEABM Dom 31 Dez 2017, 17:27

Relembrando a primeira mensagem :

Qual o valor de 3⁸²⁸ + 2⁴²⁵ por 5. Por favor, resolver por mod.
Gab: 3

Obs: tentei fazer assim:
3 ≡ b mod 5
5 | 3 - b
5 | 3 - (-2)
5 | 5

3 ≡ -2 mod 5

Elevando 828 aos dois lados temos:
3^828 ≡ (-2)^828 mod 5

3^828 ≡ 2^828 mod 5

3 ≡ -2 mod 5

Elevando 2 aos dois lados temos:
3^2 ≡ (-2)^2 mod 5

Elevando 3 aos dois lados temos:
3^3 ≡ (-2)^3 mod 5

Elevando 4 aos dois lados temos:
3^4 ≡ (-2)^4 mod 5
3^4 ≡ 2^4 mod 5

2^4 ≡ ? mod 5
2^4 ≡ 1 mod 5

Elevando 207 aos dois lados temos:
(2^4)^207 ≡ 1^207 mod 5

2^828 ≡ 1 mod 5

portanto: 3^828 ≡ 1 mod 5

-------------------------------------------------------------------
2⁴²⁵ por 5

2 ≡ c mod 5

5 | 2 - c
5 | 2 - (-3)
5 | 5

2 ≡ -3 mod 5

Elevando 425 aos dois lados
2^425 ≡ (-3)^425 mod 5

Elevando 2 aos dois lados
2^2 ≡ (-3)^2 mod 5
2^2 ≡ 3^2 mod 5

Elevando 3 aos dois lados
2^3 ≡ (-3)^3 mod 5

Elevando 4 aos dois lados
2^4 ≡ (-3)^4 mod 5
2^4 ≡ 3^4 mod 5

3^4 ≡ ? mod 5
3^4 ≡ 1 mod 5

Elevando 106 aos dois lados
(3^4)^106 ≡ 1^106 mod 5
3^424 ≡ 1 mod 5

Multiplica por 3 os dois lados
3^424 . 3 ≡ 1 . 3 mod 5
3^425 ≡ 3 mod 5

portanto: 2^425 ≡ 3 mod 5

só que é (-3)^425 e não 3^425...

por JEABM Dom 31 Dez 2017, 21:25

9^3 = 729 = 660 + 69 = 660 + 66 + 3 = resto 3

7^7 esse tem q fazer de novo?

7 = b mod 11
11 | 7 - b
11 | 7 - (-4)
11 | 11

7 = - 4 mod 11

11 = 0 mod 11
7 + 4 = 0 mod 11
7 = - 4 mod 11

7 = 7 mod 11?

por superaks Dom 31 Dez 2017, 21:34

Chegamos em 7^(7) e 9^(3)

Uma sujestão para aquela potência de 7 seria usar o resto negativo

7 Ξ - 4 (mod 11)

Pois 4 é uma potência mais fácil de calcular do que 7

Você pode fazer o mesmo com o 9

9 Ξ - 2 (mod 11)

Ficamos com

(- 4)^7 + (- 2)^3 Ξ (- 4)^3 . (- 4)^3 . (- 4) - 8 Ξ (- 64) . (- 64) . (- 4) + 3 Ξ 2 . 2 . (- 4) + 3 Ξ - 16 + 3 Ξ - 13 Ξ 9 (mod 11)

Então uma sujestão é você ficar alternando entre restos negativos e positivos para facilitar nos cálculos e também ficar decompondo. Mas você já pegou a ideia, só faltou terminar. Percebeu que é bem mais rápido ?

Feliz 2018 !!! Very Happy

por JEABM Dom 31 Dez 2017, 21:50

Sim...obg feliz 2018...mas ainda tenho q treinar melhor esse Fermat...pois ainda estou com dúvida rs...vou dar uma pesquisada melhor ainda...

Obs: como vc fez aparecer 2.2?

7 = -4 mod 11
Elevou os dois lados por 3

7^3 = -64 mod 11
343 = -64 mod 11

-64 / 11 =

-64 = 2 mod 11
Ainda tenho dificuldade de transformar o positivo p negativo é vice versa

Q Deus abençoe vc e sua família