Polinômios - Medicina Fac. guanambi 2017.1

Como você já sabe uma das raízes, uma ideia seria dividir pela raiz, ou seja (x + 1) e você obteria um polinômio do segundo grau completo as raízes p e q. Com isso, basta encontrar as raízes e calcular o que se pede. Irei apresentar uma solução diferente.

Conhece soma de Newton ? Irei utiliza-la, mas se não entender avise que eu respondo de outra forma.

Seja S(n) = p^n + q^n + (-1)^n

Temos que 

3S(n + 3) + 9S(n + 2) + 13S(n + 1) + 7S(n) = 0

Faça n = - 1

3S(2) + 9S(1) + 13S(0) + 7S(- 1) = 0

Pelas relações de Girard, sabemos que a soma das raízes desse polinômio é:

- 9/3 = - 3

Ou seja, S(1) = - 3

Achando S(0) e S( - 1)

S(0) = p^0 + q^0 + (- 1)^0 = 1 + 1 + 1 = 3

S(- 1) = p^(- 1) + q^(- 1) + (- 1)^(- 1) = (q + p - pq)/pq

Por Girard sabemos que o produto das raízes é:

- 1 . p . q = - 7/3

pq = 7/3

S(- 1) = (p + q - 7/3)/(7/3) = 3/7 . (- 3 + 1 - 7/3) = 3/7 . (- 13/3) = - 13/7

Substituindo

3S(2) + 9 . (- 3) + 13 . 3 + 7 . (- 13/7) = 0

3S(2) = - 12 + 13

S(2) = 1/3

Mas S(2) = p² + q² + 1

p² + q² = 1/3 - 1 = - 2/3

Olá, não conheço a soma de Newton e por Ruffini me perdi nos cálculos. Há como simplificar? Agradeço.

fatimacruz16 escreveu:Olá, não conheço a soma de Newton e por Ruffini me perdi nos cálculos. Há como simplificar? Agradeço.

Usa o dispositivo prático de Briot-Ruffini que a Giovana Martins usou pra resolver. É fácil de aprender e muito útil nesse tipo de exercício.

Manda o que você fez Fatima

O primeiro passo é aplicar Briot-Ruffini. Caso não saiba, estude a teoria e depois aplique na sua equação do terceiro grau, pra chegar na equação do segundo grau a que a Giovana chegou.


Não precisa resolver a equação de segundo grau, se quiser. Pode fazer p²+q² = (p+q)² -2pq e usar soma e produto.

3x³ + 9x² + 13x + 7

Por Briot-Ruffini, temos

___|_ 3 _ 9 _ 13_ |__
- 1 | ↓_- 3 _- 6 __| 7
___|_3 _ 6 __ 7 __| - 7

Polinômio de segundo grau obtido fica:

3x² + 6x + 7 = 0

Pó Girard a soma das raízes é - 3 e o produto é 7/3

p + q = - 2

(p + q)² = 4

p² + q² = 4 - 2pq = 4 - 2 . 7/3

p² + q² = (12 - 14)/3 = - 2/3

O colega Superaks apenas resolveu o exercício de um jeito ''diferente'' utilizando o Teorema de Newton, sendo que este não é ensinado no estudo elementar de Polinômios. A solução que a colega Fátima deve entender é a da Giovana.

Obrigada Pessoal! Resolvi por Ruffini mesmo.