Função do segundo grau - soma e produto

por Victor Luz Sex 22 Dez 2017, 23:42

A soma de dois números reais positivos é 12. Qual é o maior valor que o produto desses dois números pode assumir?

gabarito: y=36 e x=6

Como ficaria a resolução usando x e y do vértice?

por **Giovana Martins** Sex 22 Dez 2017, 23:51

x+y=12 -> y=12-x (1)

Seja g o maior valor resultante do produto entre x e y. Logo:

xy=g (2)

(1) em (2):

x(12-x)=g

-x²+12x=g

Portanto: g(x)=-x²+12x

As coordenadas do vértice de g(x) é dada por: V(6,36), ou seja, o maior valor que o produto xy fornece equivale a g=36. Isto ocorre quando x=6. Para x=6 em (1), y=6. Para mim esta seria a resposta.

por Victor Luz Sáb 23 Dez 2017, 00:01

Giovana Martins escreveu:
x+y=12 -> y=12-x (1)

Seja g o maior valor resultante do produto entre x e y. Logo:

xy=g (2)

(1) em (2):

x(12-x)=g

-x²+12x=g

Portanto: g(x)=-x²+12x

As coordenadas do vértice de g(x) é dada por: V(6,36), ou seja, o maior valor que o produto xy fornece equivale a g=36. Isto ocorre quando x=6. Para x=6 em (1), y=6. Para mim esta seria a resposta.

Acredito que o meu gabarito esteja errado, excelente resolução, muito obrigado!!!

por **Giovana Martins** Sáb 23 Dez 2017, 00:05

Provável, pois x+y=6+36=42≠12. De nada. Bons estudos!

por superaks Sáb 23 Dez 2017, 02:35

Outra solução

A média aritmética é maior ou igual a média geométrica, logo.

(x + y)/2 ≥ √xy

A igualdade só ocorre quando x = y, e é nesse caso em que o produto xy será máximo.

(12)/2 ≥ √xy

36 ≥ xy

O maior valor possível para xy é 36 é isso ocorre quando x = y.

Você pode pensar também no seguinte.

Dentre todos os retângulos de dimensões distintas e perímetro P, o de maior área será um quadrado