Inequação logarítmica

por jose16henrique campos de Ter 28 Nov 2017, 11:02

9^{x} - 6^{x} - 4^{x} > 0

Alguém poderia me ajudar com essa questão não tô conseguindo entender como resolvo ela a solução é S = x>\log_{\frac{3}{2}}\frac{1+\sqrt{5}}{2}

por **petras** Ter 28 Nov 2017, 13:56

3^{2x}-3^x.2^x-2^{2x} > 0 \rightarrow 3^{x}=a\ e\ 2^{x} =b \rightarrow a>0,b>0\\\ \\\ a^2-ab-b^2 >0\rightarrow a= b(\frac{1-\sqrt{5}}{2})\text{(Nao atende)} \ ou \\\ \\\ a = b(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\ \therefore 3^x = 2^x (\frac{1+\sqrt{5}}{2})\rightarrow \frac{3^x}{2^x}=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\rightarrow (\frac{3}{2})^x = (\frac{1+\sqrt{5}}{2}) \rightarrow log_\frac{3}{2}(\frac{3}{2}^x) = log_\frac{3}{2}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\rightarrow x = log_\frac{3}{2}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\\\ ++++()----(log_\frac{3}{2}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})){\color{Red} ++++}\therefore x > log_\frac{3}{2}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})

por JEABM Ter 28 Nov 2017, 16:12

De onde surgiu o 1+√5/2?

por **petras** Ter 28 Nov 2017, 16:20

raiz da função quadrática a ² -ab - b²

∆ = b² + 4b² = 5b²

a = (b +/-b√5)/2 = b(1+/-√5)/2

por jose16henrique campos de Ter 28 Nov 2017, 18:42

petras escreveu:3^{2x}-3^x.2^x-2^2x > 0 \rightarrow 3^{x}=a\ e\ 2^{x} =b \rightarrow a>0,b>0\\\ \\\ a^2-ab-b^2 >0\rightarrow a= b(\frac{1-\sqrt{5}}{2})\text{(Nao atende)} \ ou \\\ \\\ a = b(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\ \therefore 3^x = 2^x (\frac{1+\sqrt{5}}{2})\rightarrow \frac{3^x}{2^x}=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\rightarrow (\frac{3}{2})^x = (\frac{1+\sqrt{5}}{2}) \rightarrow log_\frac{3}{2}(\frac{3}{2}^x) = log_\frac{3}{2}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\rightarrow x = log_\frac{3}{2}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\\\ ++++()----(log_\frac{3}{2}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})){\color{Red} ++++}\therefore x > log_\frac{3}{2}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})

Incrível muito obrigado!