Calcule o valor da expressão

por Gauss Sex 27 Out 2017, 11:05

Calcule o valor da expressão:

$sin^2 1º + sin^2 2+ sin^2 3 + ... + sin^2 89º + sin^2 90$

Obrigado.

por **fantecele** Sex 27 Out 2017, 12:32

Nessa questão, um jeito rápido para se fazer é lembrar que cos(x) = sen(90 - x):
sen²89 = cos²1
sen²88 = cos²2
E assim por diante, com isso podemos agrupar os termos equidistantes:

sen²1 + sen²2 + sen²3+ ...+ sen²89 + sen²90
(sen²1 + sen²89) + (sen²2 + sen²88) + ... + (sen²44 + sen²46) + sen²45 + sen²90
(sen²1 + cos²1) + (sen²2 + cos²2) + ... + (sen²44 + cos²44) + sen²45 + sen²90

Lembrando ainda que "sen²x + cos²x = 1":

(sen²1 + cos²1) + (sen²2 + cos²2) + ... + (sen²44 + cos²44) + sen²45
1 + 1 + ... + 1 + sen²45 + sen²90
44 + 1/2 + 1
45,5

Uma outra forma de fazer, apesar que para esse exercício esse método não é muito necessário, seria utilizando complexos. Esse método é bastante interessante para exercícios desse tipo, sendo mais utilizados quando a soma não é tão simples, veja:

Lembrando que $\\sen(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ :
Vamos fazer 1° = θ, a soma irá ficar igual a:

sen²(θ) + sen²(2θ) + sen²(3θ)+ ...+ sen²(89θ) + sen²(90θ)

Utilizando a relação acima:

$\\sen^2(\theta) + sen^2(2\theta) + sen^2(3\theta)+ ...+ sen^2(89\theta) + sen^2(90\theta)\\\\\left ( \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} \right )^2+\left ( \frac{e^{2i\theta}-e^{-2i\theta}}{2i} \right )^2+\left ( \frac{e^{3i\theta}-e^{-3i\theta}}{2i} \right )^2+...+\left ( \frac{e^{90i\theta}-e^{-90i\theta}}{2i} \right )^2\\\\-\frac{1}{4}.\left ( e^{2i\theta}-2+e^{-2i\theta}+e^{4i\theta}-2+e^{-4i\theta}+e^{6i\theta}-2+e^{-6i\theta}+...+e^{180i\theta}-2+e^{-180i\theta} \right )\\\\-\frac{1}{4}.(e^{180i\theta}+e^{178i\theta}+...+e^{2i\theta}+e^{-2i\theta}+...+e^{-178i\theta}+e^{-180i\theta}-2.90)\\\\Somando\,\,e\,\,subtraindo\,\,e^{0i\theta}:\\-\frac{1}{4}.(e^{180i\theta}+e^{178i\theta}+...+e^{2i\theta}+e^{0i\theta}+e^{-2i\theta}+...+e^{-178i\theta}+e^{-180i\theta}-2.90-e^{0i\theta})$

Perceba que temos uma soma de PG com primeiro termo igual a e^{180iθ}, razão e^{-2iθ} e número de termos igual a 181, utilizando a fórmula de soma de PG:

$\\-\frac{1}{4}.(e^{180i\theta}+e^{178i\theta}+...+e^{2i\theta}+e^{0i\theta}+e^{-2i\theta}+...+e^{-178i\theta}+e^{-180i\theta}-2.90-e^{0i\theta})\\\\\frac{-1}{4}.(e^{180i\theta}.\left ( \frac{(e^{-2i\theta})^{181}-1}{e^{-2i\theta}-1} \right )-2.90-1)\\\\Vamos\,\,mexer\,\,apenas\,\,com\,\,a\,\,PG:\\\\e^{180i\theta}.\left ( \frac{(e^{-2i\theta})^{181}-1}{e^{-2i\theta}-1} \right )=e^{180i\theta}.\left ( \frac{e^{-181i\theta}-e^{181i\theta}}{e^{-i\theta}-e^{i\theta}} \right ).\frac{e^{-181i\theta}}{e^{-i\theta}}=e^{0i\theta}\left ( \frac{e^{-181i\theta}-e^{181i\theta}}{e^{-i\theta}-e^{i\theta}} \right )$

Lembrado que "cos(θ) + isen(θ) = e^{iθ}

$e^{0i\theta}\left ( \frac{e^{-181i\theta}-e^{181i\theta}}{e^{-i\theta}-e^{i\theta}} \right )=e^{0i\theta}.\left ( \frac{-2isen(181i\theta)}{-2isen(i\theta)} \right )=1.\frac{sen(181i\theta)}{sen(i\theta)}$

Lembrando que θ = 1° e que sen(181°) = - sen(1°), temos que a expressão acima é igual a -1, substituindo no lugar da PG esse valor de -1:

$\\\\\frac{-1}{4}.(e^{180i\theta}.\left ( \frac{(e^{-2i\theta})^{181}-1}{e^{-2i\theta}-1} \right )-2.90-1)\\\\\frac{-1}{4}.(-1-2.90-1)=45,5$

Essa forma pode até ser mais trabalhosa, mas é bom saber outras formas de se resolver um exercício.