Indução finita.

Demonstre usando o princípio da indução finita.
2^0 + 2^1 + 2^2 ... + 2^(n-1) = 2^n - 1 , ∀n ∈ ℕ*

Não entendi o pq de ser somado em ambos os lados, se 2^n seria 2^(n-1+1),e fizesse parte apenas do primeiro membro. Me expliquemmmmm.

O que queremos provar? Que a seguinte soma

2^0 + 2^1 + ... + 2^(n - 1) é igual a 2^n - 1

Então primeiro você assume por hipótese de indução que é verdadeiro e com isso o que se quer provar (tese), é que é válido para o sucessor de n, ou seja, n + 1

Tese: 2^0 + 2^1 + ... + 2^(n - 1) + 2^n = 2^(n + 1) - 1

Então você tem que usar a sua hipótese para chegar na tese. Ele soma 2^n em ambos os lados justamente para aparecer no lado esquerdo o que que deve ser provado. Que tanto a soma  de 2^0 até 2^(n - 1) quanto a soma de 2^0 até 2^n (sucessor de 2^(n - 1)) será 2^n - 1 e 2^(n + 1) - 1 respectivamente. E assim sucessivamente