Vetores

Sejam ABC um triângulo, X a intersecção do lado AB com a bissetriz interna do ângulo ACB, e, tomando ||CA||≠||CB||, Y a intersecção da reta AB com uma das bissetrizes externas do ângulo ACB^(*).

A) Tendo em vista que os vetores (CA/||CA||+(CB/||CB||) e (CA/||CA||-(CB/||CB||) são paralelos a CX e CY. Dê uma explanação geométrica para isso.

B) Prove que ||CA||/||AX||=||CB||/||BX|| e ||CA||/||AY||=||CB||/||BY||.


C) Calcule CX, CY, X e Y em função de A, CA e CB.

Gostaria de ajuda nas letra A, B e C. A letra A eu não sei começar, a letra B eu gostaria de saber se a forma que eu fiz está correta (imagino que faltou provar a validade de ambos os teoremas) e a letra C eu gostaria de saber o que seria A, X e Y (seriam pontos?), já que ele não possui uma notação de vetor.

Notas: CA, CB, AX, BX, AY e BY possuem notação vetorial e eu não possuo o gabarito. Caso a pessoa que for resolver a questão não souber resolvê-la inteira, pode deixar o desenvolvimento mesmo assim.

(*) Existe Y se ||CA||≠||CB||.

Letra A:
CA/||CA|| = versor CA = a
CB/||CB|| = versor CB = b

Seja "α" o angulo entre CA e CB. Temos que o ângulo entre o vetor a+b e o vetor a será α/2. Algebricamente seria relativamente simples provar isso com lei dos senos. Tente provar geometricamente. Se não conseguir, eu tento fazer isso a noite quando chegar.



A letra B eu creio que esteja correta, você não precisa provar a validade dos teoremas. O teorema é conhecido e a questão deixa claro que se trata de bissetrizes

A Letra C) não seria em função de AB, CA e CB não?

Da pra fazer usando relação de Stewart e o proprio teorema das bissetrizes que você usou na letra B. Tente achar e poste aqui o resultado

Muito obrigada, Caique. E não, a letra C é como eu digitei mesmo .