IME GEOMETRIA PLANA

por Eduardo Correa Hamilko Seg 28 Ago 2017, 15:58

Seja M um ponto da circunferência de círculo de diâmetro AB e H a projeção de M sobre o diâmetro. Traçando-se um segundo círculo com centro em M e raio r=MH, a corda CD comum aos dois círculos intercepta o segmento MH em um ponto P. Determine o valor da razão PM/PH.

Spoiler:

por **fantecele** Ter 29 Ago 2017, 16:59

Hamilko, é você mesmo? Razz

Bem, a imagem está ai em cima.
Ao fazer o desenho, prolongue o seguimento de reta MH até tocar nas duas circunferências, perceba que os pontos de intersecção são os pontos X e Y.
Perceba que MH é perpendicular ao diâmetro, portanto MH = HY = r.
Utilizando a ideia de potência de ponto nas cordas MY e CD da circunferência maior temos que:
$\\MP.PY=DP.PC\,\,\,(I)$
Utilizando agora essa mesma ideia para as cordas XH e DC da circunferência menor:
$\\XP.PH=DP.PC\,\,\,(II)$

Podemos igualar (I) com (II), perceba que XH é um diâmetro da circunferência menor:

$\\XP.PH=MP.PY\\(2r-PH).PH=(r-PH).(r+PH)$

Desenvolvendo a relação encontrada acima iremos obter que PH = r/2, consequentemente PM = r/2, portanto PM/PH = 1.