Teoria dos Conjuntos

por Lucazura Qui 10 Ago 2017, 15:08

Sejam A e B dois conjuntos finitos. Provar que:

n n n n
(A U B)= A + B - A ∩ B

O símbolo n representa o número de elementos do conjunto X.
X

Não sei como fazer...

por **fantecele** Sex 11 Ago 2017, 10:31

Colocar uma demonstração que encontrei no livro do Rufino:

Inicialmente, note-se que $\\(A-B)\cap B=(A\cap B^c)\cap B=A\cap (B^c\cap B)=A\cap \phi=\phi$ . Assim os conjuntos "A - B" e "B" são disjuntos, e: n[(A - B)∪B] = n(A - B) + n(B) (I).
Mas, $\\(A-B)\cup B=(A\cap B^c)\cup B=(A\cup B)\cap (B^c\cup B)=A\cup B\cap U=A\cup B\,\,\,\,(II)$ . Além disso, é fácil verificar (prove) que "A - B" e "AՈB" são disjuntos, bem como "(A - B)∪(AՈB) = A" (mostre isso também). Assim, novamente pelo principio básico tem-se: n[(A - B)∪(AՈB)] = n(A - B) + n(AՈB). Logo: n(A - B) = n(A) = n(AՈB) (III).
Finalmente, substituindo os resultados (II) e (III) em (I), vem:
n(A∪B) = [n(A) - n(AՈB)] + n(B) = n(A) + n(B) - n(AՈB).

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