(IME-81) Determine os valores de h

(IME-81) Determine os valores de h, de modo que a desigualdade abaixo seja válida para qualquer x real.




Gabarito: -5 < h < 1

Vamos em (I) primeiro:
x² - hx + 1 > -3(x² + x + 1)
4x² + x(3 - h) + 4 > 0

Seja f(x) = 4x² + x(3 - h) + 4; f(x) representa uma parábola com a concavidade voltada para cima. Para que f(x) seja maior 0 devemos ter que o discriminante de f(x) seja < 0, pois dessa forma a parábola não iria cortar o eixo x e nem teríamos f(x) tangenciando o eixo "x", dessa forma:
∆ < 0
(3 - h)² - 4.4.4 < 0
(3 - h)² < 64
-8 < 3 - h < 8
-5 < h < 11   (III)

Agora vamos em (II):
x² - hx + 1 < 3(x² + x + 1)
2x² + x(3 + h) + 2 > 0

Seja g(x) = 2x² + x(3 + h) + 2; pelos mesmos motivos que em (I) devemos ter o discriminante de g(x) < 0, dessa forma:
(3 + h)² - 4.2.2 < 0
(3 + h)² < 16
-4 < (3 + h) < 4
-7 < h < 1    (IV)

De (III) e (IV) tiramos que: - 5 < h < 1

Muito obrigado! Eu pensei q o discriminante tinha que ser maior ou igual a zero para ter valores reais.

richardkloster 

Nesta questão o que se quer é que a função do numerador seja sempre positiva, para qualquer valor de x

Como a função é uma parábola, com a concavidade voltada para cima, para ela ser sempre positiva, a parábola não pode nem tangenciar nem cruzar o eixo x, isto é ela deve estar toda acima do eixo x

Isto significa que a função NÃO tem raízes reais, isto é, suas raízes são complexas. Neste caso, devemos ter ∆ < 0

O meu problema foi entender o porquê da f(x) necessariamente ser maior que 0. Agora consegui entender