Determine os valores

por Márcio Valente Sex 26 Abr 2013, 07:17

3)Determine os valores de a > 0 para os quais a série Determine os valores WA=

é convergente.

por Man Utd Sex 11 Jul 2014, 01:42

Use o teste da razão :

$\\\\\\ \lim_{ n \to +\infty} \;\left| \frac{(n+1)\alpha^{n+1}}{n\alpha^{n}} \right| \\\\\\ \lim_{ n \to +\infty} \;\left| \alpha \right| \\\\\\ \left| \alpha \right|$

vai convergir absolutamente se : $\\\\\\ \left| \alpha \right|<1 \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; -1<\alpha<1$ e diverge em $\\\\\\ \left| \alpha \right|>1 \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; \alpha<-1 \;\;\; \vee \;\;\; \alpha>1$ , restando analisar em $\\\\\\ \alpha=-1 \;\;\; \wedge \;\;\; \alpha=1$ .

Para $\\\\\\ \alpha=-1$ :

$\\\\\\ \sum_{n=1}^{+\infty} \; (-1)^{n} n$

que é divergente pois aplicando o teste do termo geral( teste da divergência) :

$\\\\\\ \lim_{n \to +\infty} n=+\infty$

logo diverge.

Agora quando $\\\\\\ \alpha =1$ :

$\\\\\\ \sum_{n=1}^{+\infty}\; n$

que tbm diverge pelo msm teste.

Logo os valores de $\\\\\\ \alpha$ para a série convergir é : $\\\\\\ -1<\alpha <1$ . mas como o exercício informa que alpha>0 logo a resposta é : $\\\\\\ 0<\alpha<1$ .

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