Valores min/max - Derivadas

Olá alguem poderia me ajudar ?
minha dificuldade é apos a primeira derivada , em encontrar os numeros criticos 
(a) Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximo e mínimo locais de f.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão



Gabarito 

(a) Cres. em ; decres. em 

(b) Min. loc   
(c) Concavidade para cima  em 

f(x) = e^(2x) + e^(-x)

f'(x) = 2e^(2x) - e^(-x)

f''(x) = 4e^(2x) + e^(-x)


(a)
f é crescente quando:
f'(x) = 2e^(2x) - e^(-x) > 0 --> 2(e^x)^2 - 1/e^x > 0 --> 2(e^x)^3 - 1 > 0 --> (e^x)^3 > 1/2 --> e^x > 1/2^(1/3) --> x > -(1/3)ln(2)

f é decrescente quando:
f'(x) = 2e^(2x) - e^(-x) < 0 --> x < -(1/3)ln(2)


(b) Das relações acima sabemos que f(-(1/3)ln(2)) é um valor critico de f:
f(-(1/3)ln(2)) = e^(-(2/3)ln(2)) + e^((1/3)ln(2)) = 2^(-2/3) + 2^(1/3)

Para saber se é máximo ou minimo basta fazer o teste da derivada segunda:
f''(-(1/3)ln(2)) = 4e^(-(2/3)ln(2)) + e^((1/3)ln(2)) = 4*2^(-2/3) + 2^(1/3) > 0
∴ Ponto de minimo


(c)
f possui concavidade para cima quando:
f''(x) = 4e^(2x) + e^(-x) > 0 --> f''(x) > 0 para qualquer valor real de x (já que se trata de uma soma de exponenciais)