Quadrilátero Inscrito

Na figura abaixo, o diâmetro do círculo é igual a 5 cm, AB= 3 cm, BC= 2 cm e CD= 4 cm. Qual a medida do lado AD do quadrilátero inscritível ABCD ?


Gab : √21

Presa escreveu:Na figura abaixo, o diâmetro do círculo é igual a 5 cm, AB= 3 cm, BC= 2 cm e CD= 4 cm. Qual a medida do lado AD do quadrilátero inscritível ABCD ?


Gab : √21

Boa noite, Presa.

3² + 4² = 2² + (AD)²

(AD)² = 9 + 16 - 4 = 21
AD = √21


Um abraço.

Boa noite, mestre !! 

O senhor, poderia me explicar qual relação usou ? Não entendi muito bem.

Teorema de Pitágoras

Presa escreveu:Boa noite, mestre !! 

O senhor, poderia me explicar qual relação usou ? Não entendi muito bem.

Boa noite, Presa.

O que eu fiz foi observar que a soma dos quadrados dos lados opostos deviam ser iguais, considerando-se o gabarito ser igual a √21.
Mas como agora você está me pedindo explicar como eu cheguei a essa conclusão, acabei por procurar uma resolução que confirme.
Segui, então, o seguinte procedimento:
A partir do centro do círculo, tracei 4 raios, com suas extremidades terminando nos vértices do quadrilátero.
Como o diâmetro mede 5 cm, então os raios que tracei devem medir 2,5 cm cada um.

A seguir, apliquei a Lei dos cossenos aos 4 ângulos centrais, buscando determinar o cosseno de cada um dos 4 ângulos centrais.
Lado BC (=2) designei pela letra "a";
Lado CD (=4) designei pele letra "b";
Lado DA (=x) designei pela letra "c"; e
Lado AB (=3) designei pela letra "d".

a² = r² + r² - 2.r.r.cos(a)
2² = (2,5)² + (2,5)² - 2.(2,5)².cos(a)
4 = 6,25 + 6,25 - 12,5 .cos(a)
4 = 12,5 - 12,5.cos(a)
4 = 12,5.[1 - cos(a)]
1 - cos(a) = 4/12,5 = 0,32
cos(a) = 1 - 0,32
cos(a) = 0,68

Repeti o processo com os outros dois lados cujas medidas foram dadas:
4² = 12,5 - 12,5.cos(b)
16 = 12,5.[1 - cos(b)]
1 - cos(b) = 16/12,5 = 1,28
cos(b) = 1 - 1,28
cos(b) = -0,28

3² = 12,5 - 12,5.cos(c)
9 = 12,5.[1 - cos(c)]
1- cos(c) = 9/12,5 = 0,72
cos(c) = 1 - 0,72
cos(c) = 0,28

Observando os valores obtidos para os cossenos, vem:
+0,68; –0,28; +0,28; ?

Deduzi então que o cosseno do lado desconhecido devia ser igual a –0,68.
De maneira que fiz assim quanto ao lado desconhecido (x):
x² = 12,5 - 12,5.cos(c)
x² = 12,5.[1 - (-0,68)] = 12,5.(1 + 0,68) = 12,5 . 1,68
x² = 21
x = √21



Um abraço.