limite tendendo ao infinito

por fgty Sex 07 Abr 2017, 19:47

o valor do $limite tendendo ao infinito Gif.latex?\lim_{n\rightarrow&space;+\infty&space;}&space;(1&space;-&space;\frac{1}{3}&space;+&space;\frac{1}{9}&space;-&space;\frac{1}{27}+..$ é igual a :

a)3/2

b)3/4

c)-1/3

d)-3/2

e)-4/3

por **mauk03** Ter 11 Abr 2017, 16:49

$S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+...+\frac{(-1)^{n-1}}{3^{n-1}}$ é a soma dos termos de uma progressão geométrica de primeiro termo $a_{1}=1$ e razão $q=-\frac{1}{3}$ . Assim:
$S=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{\left ( -\frac{1}{3} \right )^n-1}{-\frac{1}{3}-1}=\frac{3-3\left ( -\frac{1}{3} \right )^n}{4}$

Logo:
$\lim_{n\rightarrow \infty }S=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{3-3\left ( -\frac{1}{3} \right )^n}{4}=\frac{3}{4}$

por fgty Qua 12 Abr 2017, 14:57

Obrigado pela resolução amigo.

Eu tentei mais um pouco e consegui fazer de outro modo:

$limite tendendo ao infinito Gif.latex?\lim_{n\rightarrow&space;\infty}&space;(1-&space;\frac{1}{3}&space;+&space;\frac{1}{9}&space;-&space;\frac{1}{27}&space;+..$ vira uma pg infinita.

$limite tendendo ao infinito Gif$

por **mauk03** Qui 13 Abr 2017, 00:21

Tb está correta. Isso é uma consequência do limite (quando |q|<1):
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{a_1(0-1)}{q-1}=\frac{a_1}{1-q}$

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