Limite com raiz tendendo ao infinito

por Convidado Dom 06 maio 2018, 18:38

$\lim_{x\rightarrow \infty } x(\sqrt{x^2-1} -x)$

Como resolver esse limite? Passo a passo, por favor.
Gabarito: -1/2

por Convidado Dom 06 maio 2018, 18:40

Se alguém puder me explicar como me portar em uma situação onde há 2 raízes em um limite, eu agradeço.

por **Elcioschin** Dom 06 maio 2018, 19:27

Sua questão não tem duas raízes em um limite

Para resolver, basta multiplicar e dividir o limite pelo conjugado √(x² - 1) + x

Limite x.(√(x² - 1) - x).(√(x² - 1) + x) = Limite ........ - x
x--->∞ ------------------------------------- ..x--->∞ -----------------
.................... (√(x² - 1) + x) .........................√(x² - 1) + x)

Dividindo numerador e denominador por x

Limite ........... - 1
x--->∞ ------------------ = - 1/2
............√(1 - 1/x²) + 1

por Convidado Dom 06 maio 2018, 22:17

Obrigado Sr. Elcio.

Limite x.(√(x² - 1) - x).(√(x² - 1) + x) = Limite ........ - x
x--->∞ ------------------------------------- ..x--->∞ -----------------
.................... (√(x² - 1) + x) .........................√(x² - 1) + x)

Sobre o conjugado, a minha dúvida estava se essa variável estaria no mesmo após eu efetuá-lo.

por **Elcioschin** Dom 06 maio 2018, 23:06

Está sim, basta fazer a contas.

por Convidado Ter 08 maio 2018, 20:26

Dividindo numerador e denominador por x

Limite ........... - 1
x--->∞ ------------------ = - 1/2
............√(1 - 1/x) + 1

por que houve essa divisão por x Elcio?

por **Elcioschin** Ter 08 maio 2018, 20:28

É uma técnica para se ter um único 1/x ---> para x tendendo a ∞ ---> 1/x tende para zero

por Convidado Ter 08 maio 2018, 20:39

Acompanhei o senhor até nessa parte que se encontra abaixo. Só que ao invés de ter feito esse procedimento, eu cortei o -x e o +x , logo ficaria de forma simplificada, mas não resolveu o problema. Por que isso não deu certo?

$\frac {-x}{\sqrt{x^2-1}+x}$

por **Elcioschin** Ter 08 maio 2018, 22:23

Esta conta está errada
Para cortar o x do numerador seria necessário cortar o x dos DOIS termos do denominador.
Acontece que o 1º termo não tem x multiplicando.

Se fosse, por exemplo -x/(x² + x) aí poderia ---> -1/(x + 1)

por Convidado Ter 08 maio 2018, 22:27

Entendido.
E existe outro método de resolver sem usar a técnica que foi usada nessa parte? Não entendi o porque do x dividir o numerador e o denominador.

Limite ........... - 1
x--->∞ ------------------ = - 1/2
............√(1 - 1/x) + 1