Identidades trigonometricas FME

por XablauTOMrafa1 Sáb 25 Mar 2017, 21:53

Alguém pode me ajudar ?
Prove que 2(senx + tgx).(cosx + cotgx) = (1 + senx + cosx)²

por **Elcioschin** Sáb 25 Mar 2017, 22:07

Faça tgx = senx/cosx e cotgx = cosx/senx

Efetue as contas e simplifique. Lembre-se que sen²x + cos²x = 1

por igorrudolf Sáb 25 Mar 2017, 22:08

$2(\sin x+\tan x)(\cos x+\cot x)= 2(\sin x\cos x+\sin x\cot x+\cos x\tan x+\tan x\cot x) \rightarrow 2(\sin x\cos x+\sin x\times \frac{\cos x}{\sin x}+\cos x\times \frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\tan x}{\tan x})$

$\rightarrow 2\sin x\cos x+2\cos x+2\sin x+2$

Portanto, agora basta provar que (1+sinx+cosx)² é igual a express
ão anterior:

$[1+(sinx+cosx)]^{2} = 1²+2.1.(sinx+cosx)+(sinx+cosx)^{2} = 1+2sinx+2cox + 1 + 2sinxcosx = 2sinxcosx+2cosx+2sinx+2.$

por Thomas Prado Sáb 25 Mar 2017, 22:31

Minha resolução:

\\ 2(\sin x + \tan x)(\cos x + \cot x) = (1 + \sin x + \cos x)^{2} \Rightarrow \\ \\ 2\left (\sin x + \frac {\sin x}{\cos x} \right )\left (\cos x + \frac {\cos x}{\sin x} \right ) = 1 + \sin^{2} x + \cos^{2} x + \\\\ 2(\sin x + \cos x + \sin x.cosx) \Rightarrow \\ \\ 2\left (\frac {\sin x.\cos x + \sin x}{\cos x} \right )\left (\frac {\cos x.\sin x + cos x}{\sin x} \right ) = 2 + 2(\sin x + \cos x + \sin x . \cos x) \Rightarrow \\ \\ 2\left ( \frac {\sin^{2}x.\cos^{2}x + \sin x.\cos^{2}x + \cos x.\sin^{2}x + \cos x. \sin x}{\cos x . \sin x}\right ) = 2(1+\sin x + \cos x + \sin x . \cos x) \Rightarrow \\ \\ 2 (\sin x . \cos x + \cos x + \sin x + 1) = 2(1+\sin x + \cos x + \sin x . \cos x) \; \; \; \; \; \; \mathbf{c.q.d}