Identidades Trigonométricas

Calcule o valor da expressão
[latex]\cos \frac{\pi }{15}\cdot \cos \frac{2\pi }{15}\cdot \cos \frac{3\pi }{15}\cdot\cos \frac{4\pi }{15}\cdot\cos \frac{5\pi}{15}\cdot \cos \frac{6\pi }{15}\cdot \cos \frac{7\pi }{15}[/latex]

Lembre-se que 5.pi/5 = pi/3 = 60º ---> cos60º = 1/2

Uma possibilidade é usar Prostaférese ao contrário, para cada par:

cosp + cosq = 2.cos[(p + q)/2].cos[(p - q)/2]

Por exemplo, para o par cos(2.pi/15).cos(pi/15) ---

(p + q)/2 = 2.pi/15 ---> p + q = 4.pi/15 ---> I

(p - q)/2 = pi/15 ---> p - q = 2.pi/15 ---> II

Resolvendo ---> p = 3.pi/15 e q = pi/15

cos(3.pi/15) + cos(pi/15) = 2.cos(2.pi/15).cos(pi/15)  --->

cos(2.pi/15).cos(pi/15) = (1/2).[cos(3.pi/15) + cos(pi/15)]

Tente fazer para os pares restantes

Olá,

i) Fato: 1+cisθ = 2cos(θ/2)cis(θ/2)

ii) Defina p(x) = x^15 - 1, x ≠ 1 ⇒ p(x) = 1+x+x² + ... + x^14

Perceba que as raízes de p são:

cis(2π/15),cis(4π/15), cis(6π/15), ... , cis(28π/15)

iii) Agora, p(x) = (x-cis(2π/15))*(x-cis(4π/15))*...*(x-cis(28π/15))

* Usando ii) temos que p(-1) = 1

iv) p(-1) = 1 = (-1-cis(2π/15))*(-1-cis(4π/15))*...*(-1-cis(28π/15))

  ⇒ |p(-1)| = 1 = |1+cis(2π/15)|*|1+cis(4π/15)|*...*|1+cis(28π/15)|

 * Usando o resultado i)

⇒1 = |2cos(π/15)cis(π/15)|*|2cos(2π/15)cis(2π/15)|*...*|2cos(14π/15)cis(14π/15)|
 
⇒ 1 = 2^14 * |cos(π/15)*cos(2π/15)cos(3π/15)...cos(14π/15)|

Como |cosx| = |cos(π-x)|, temos:

1 = 2^14*|cos(π/15)*cos(2π/15)cos(3π/15)...cos(7π/15)|²

Por fim, 

cos(π/15)*cos(2π/15)cos(3π/15)...cos(7π/15) = 1/2^7.